Доведення (не) простежуваності цього N-го первинного повторення

Як випливає з мого попереднього запитання , я грав із гіпотезою Рімана як питання рекреаційної математики. У ході цього процесу я дійшов до досить цікавого повторення, і мені цікаво його назва, його скорочення та простежуваність до розв'язуваності проміжку між простими числами.

Вкрай кажучи, ми можемо визначити розрив між кожним простим числом як повторення попередніх прайменів- кандидатів . Наприклад, для нашої бази $p_0 = 2$ наступним простим числом буде:

$\qquad \displaystyle p_1 = \min \{ x > p_0 \mid -\cos(2\pi(x+1)/p_0) + 1 = 0) \}$

Або, як ми бачимо, побудувавши це : .$p_1 = 3$

Ми можемо повторити процес для простих праймерів, оцінюючи кожен кандидат, який повторюється вперед. Припустимо, ми хочемо отримати наступний прайм, . Наша функція кандидата стає:p $n$$p_2$

$\qquad \displaystyle \begin{align} p_2 = \min\{ x > p_1 \mid f_{p_1}(x) + (&(-\cos(2\pi(x+1)/p_1) + 1) \\ \cdot &(-\cos(2\pi(x+2)/p_1) + 1)) = 0\} \end{align}$

Де:

$\qquad \displaystyle f_{p_1}(x) = -\cos(2\pi(x+1)/p_0) + 1$ , як зазначено вище.

Неважко помітити, що кожна компонентна функція стає лише нульовою для цілих значень, і так само легко показати, як це чітко фіксує наші відносини у формі AND- та XOR, використовуючи властивості додавання та множення в контексті системи тригонометричної рівняння.

Рецидив стає:

$\qquad f_{p_0} = 0\\ \qquad p_0 = 2\\ \qquad \displaystyle f_{p_n}(x) = f_{p_{n-1}}(x) + \prod_{k=2}^{p_{n-1}} (-\cos(2\pi(x+k-1)/p_{n-1}) + 1)\\ \qquad \displaystyle p_n = \min\left\{ x > p_{n-1} \mid f_{p_n}(x) = 0\right\}$

... де вся проблема залежить від того, чи можемо ми оцінити оператора за цією функцією в поліноміальний час. Це, по суті, узагальнення сита Ератостена .$\min$

Робочий код Python для демонстрації повторення:

from math import cos,pi

def cosProduct(x,p):
    """ Handles the cosine product in a handy single function """
    ret = 1.0
    for k in xrange(2,p+1):
        ret *= -cos(2*pi*(x+k-1)/p)+1.0
    return ret

def nthPrime(n):
    """ Generates the nth prime, where n is a zero-based integer """

    # Preconditions: n must be an integer greater than -1
    if not isinstance(n,int) or n < 0:
        raise ValueError("n must be an integer greater than -1")

    # Base case: the 0th prime is 2, 0th function vacuous
    if n == 0:
        return 2,lambda x: 0

    # Get the preceding evaluation
    p_nMinusOne,fn_nMinusOne = nthPrime(n-1)

    # Define the function for the Nth prime
    fn_n = lambda x: fn_nMinusOne(x) + cosProduct(x,p_nMinusOne)

    # Evaluate it (I need a solver here if it's tractable!)
    for k in xrange(p_nMinusOne+1,int(p_nMinusOne**2.718281828)):
        if fn_n(k) == 0:
            p_n = k
            break

    # Return the Nth prime and its function
    return p_n,fn_n

Швидкий приклад:

>>> [nthPrime(i)[0] for i in range(20)]
[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71]

Біда в тому, що я зараз перебуваю над головою, як математично, так і як комп'ютер. Зокрема, я не вмію аналізувати Фур'є , визначати рівномірні кришки або загалом складну площину , і я переживаю, що такий підхід є неправильним або приховує жахливий жах проблеми 3SAT, що піднімає його на NP-повнота.

Таким чином, у мене тут три питання:

1. З огляду на моє короткочасне повторення, чи можна детерміновано обчислити чи оцінити розташування нулів у поліноміальному часі та просторі?
2. Якщо так чи ні, то чи приховує якісь інші підпроблеми, які б зробили рішення поліметалічного чи поліпросторового нерозбірливим?
3. І якщо якимось дивом (1) і (2) витримаєте, які динамічні вдосконалення програмування ви б зробили, задовольняючи цю повторюваність, з високого рівня? Зрозуміло, що ітерація над одними і тими ж цілими кількома функціями є неелегантною та досить марною.

Наступний документ показує, що PRIMES знаходиться в P (він також виграв премію Gödel у 2006 році):

http://www.cse.iitk.ac.in/users/manindra/algebra/primality_v6.pdf

Встановивши рішення N-ї процедури мінімізації основного алгоритму AKS PRIMES (за модулем віднімання), ми можемо ефективно отримати відстежуване рішення відношення рецидиву (якщо ви зможете довести, що простий розрив задається відношенням рецидиву).

Вихідні коди можна знайти в Інтернеті. Я не вказую на них тут, тому що я їх особисто не перевіряв.

$\sqrt{n}$