Визначте відсутнє число у потоці даних

Ми отримуємо потік з $n-1$ попарно різних чисел із множини $\left\{1,\dots,n\right\}$ .

Як я можу визначити пропущене число за допомогою алгоритму, який зчитує потік один раз і використовує пам'ять лише $O(\log_2 n)$ біт?

Ви знаєте, що , і томуS=n(n+1$\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$ можна кодувати вбітахO(log(n)),це можна зробити впам'ятіO(logn)і в одному шляху (просто знайдітьS-currentSum, це число відсутнє).$S = \frac{n(n+1)}{2}$$O(\log(n))$$O(\log n)$$S - \mathrm{currentSum}$

Але цю проблему можна було б вирішити в загальному випадку (для постійного ): ми маємо k пропущених чисел, з’ясуємо їх усі. У цьому випадку замість обчислення справедливої ​​суми y i , обчисліть суму j'st потужності x i для всіх 1 ≤ j ≤ k (я припускав, що x i є відсутніми числами, а y i - вхідними числами):$k$$k$$y_i$$x_i$$1\le j \le k$$x_i$$y_i$

$\qquad \displaystyle \begin{align} \sum_{i=1}^k x_i &= S_1,\\ \sum_{i=1}^k x_i^2 &= S_2,\\ &\vdots \\ \sum_{i=1}^k x_i^k &= S_k \end{align}$ $\qquad (1)$

Пам'ятайте , що ви можете вирахувати просто, тому що S 1 = S - ∑ y i , S 2 = ∑ i 2 - ∑ y 2 i , ...$S_1,...S_k$$S_1 = S - \sum y_i$$S_2 = \sum i^2 - \sum y_i^2$

Тепер для пошуку пропущених чисел слід вирішити щоб знайти всі x i .$(1)$$x_i$

Ви можете обчислити:

, P 2 = ∑ x i ⋅ x j , ..., P k = ∏ x i ( 2 ) .$P_1 = \sum x_i$$P_2 = \sum x_i\cdot x_j$$P_k = \prod x_i$ $(2)$

Для цього пам’ятайте, що , P 2 = S 2 1 - S $P_1 = S_1$ , ...$P_2 = \frac{S_1^2 - S_2}{2}$

Але - коефіцієнти P = ( x - x 1 ) ⋅ ( x - x 2 ) ⋯ ( x - x k ), але P можна враховувати однозначно, тому ви можете знайти пропущені числа.$P_i$$P=(x-x_1)\cdot (x-x_2) \cdots (x-x_k)$$P$

Це не мої думки; читайте це .

From the comment above:

Before processing the stream, allocate $\lceil \log_2 n \rceil$ bits, in which you write $x:= \bigoplus_{i=1}^n \mathrm{bin}(i)$ ($\mathrm{bin}(i)$ is the binary representation of $i$ and $\oplus$ is pointwise exclusive-or). Naively, this takes $\mathcal{O}(n)$ time.

Upon processing the stream, whenever one reads a number $j$, compute $x := x \oplus \mathrm{bin}(j)$. Let $k$ be the single number from $\{ 1, ... n\}$ that is not included in the stream. After having read the whole stream, we have

Hence, we used $\mathcal{O}(\log n)$ space, and have an overall runtime of $\mathcal{O}(n)$.

HdM's solution works. I coded it in C++ to test it. I can't limit the value to $O(\log_2 n)$ bits, but I'm sure you can easily show how only that number of bits is actually set.

For those that want pseudo code, using a simple $\text{fold}$ operation with exclusive or ($\oplus$):

Hand-wavey proof: A $\oplus$ never requires more bits than its input, so it follows that no intermediate result in the above requires more than the maximum bits of the input (so $O(\log_2 n)$ bits). $\oplus$ is commutative, and $x \oplus x = 0$, thus if you expand the above and pair off all data present in the stream you'll be left only with a single un-matched value, the missing number.

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>

using namespace std;

void find_missing( int const * stream, int len );

int main( int argc, char ** argv )
{
    if( argc < 2 )
    {
        cerr << "Syntax: " << argv[0] << " N" << endl;
        return 1;
    }
    int n = atoi( argv[1] );

    //construct sequence
    vector<int> seq;
    for( int i=1; i <= n; ++i )
        seq.push_back( i );

    //remove a number and remember it
    srand( unsigned(time(0)) );
    int remove = (rand() % n) + 1;
    seq.erase( seq.begin() + (remove - 1) );
    cout << "Removed: " << remove << endl;

    //give the stream a random order
    std::random_shuffle( seq.begin(), seq.end() );

    find_missing( &seq[0], int(seq.size()) );
}

//HdM's solution
void find_missing( int const * stream, int len )
{
    //create initial value of n sequence xor'ed (n == len+1)
    int value = 0;
    for( int i=0; i < (len+1); ++i )
        value = value ^ (i+1);

    //xor all items in stream
    for( int i=0; i < len; ++i, ++stream )
        value = value ^ *stream;

    //what's left is the missing number
    cout << "Found: " << value << endl;
}