Схеми глибини-2 з воротами АБО та MOD не є універсальними?

Добре відомо, що кожна булева функція може бути реалізована за допомогою булевої схеми глибини 2 (над змінними, їх запереченням і постійними значеннями) містять ворота І на першому рівні та один єдиний АБО затвор у верхньому рівні; це просто уявлення DNF з . $f:\{0,1\}^n\to \{0,1\}$ $f$

Ще одним типом воріт, який представляє великий інтерес щодо складності схеми, є ворота . Звичайне визначення таке: $MOD_m$

{M O D}_{m} (x_{1}, \dots, x_{k}) = {\begin{cases} 1 & if \sum x_{i} \equiv 0 \mod m \\ 0 & if \sum x_{i} ≢ 0 \mod m \end{cases}

$\mathrm{MOD}_m(x_1,\dots,x_k)=\cases{ 1 & if $\sum x_i \equiv 0 \mod m$ \\ 0 & if $\sum x_i \not\equiv 0 \mod m$ \\ }$

Ці ворота іноді мають дивовижну силу; наприклад, будь-яка булева функція може бути представлена ланцюгом глибини-2, що має лише $\mathrm{MOD}_6$ ворота (це фольклор, але я можу розробити, хтось зацікавлений).

Однак інший фольклор полягає в тому, що схеми з єдиним воротом АБО у верхній частині та $\mathrm{MOD}_m$ воротами в нижньому шарі (з $m$ фіксованими раз і назавжди, зокрема, однаковими для всіх воріт) не є універсальний, тобто для будь-якого значення $m$ є булеві функції, які неможливо обчислити за допомогою ланцюга $\mathrm{OR} \circ \mathrm{MOD}_m$ .

Я шукаю доказ цього твердження або хоча б деякий напрямок.

complexity-theory logic circuits

— Гаді А
джерело

У першому абзаці вам або НЕ потрібні ворота, або ви повинні сказати «кожна монотонна булева функція».

— Цуйосі Іто,

Ви праві; звичайне припущення полягає в тому, що ви вводите вхідні змінні, їх заперечення, а також довільні значення (важливо для модулів). Я напишу це прямо.

— Гаді

Я здогадуюсь, що , кількість вхідних змінних, відрізняється від , модуля?

n

$n$

n

$n$

— Крістофер Арнсфельт Хансен

Так, вибачте з цього приводу.

— Гаді А

Мене це цікавить. Чи знаєте ви якусь посилання на перший фольклорний факт? Цікаво, якщо в останньому класі схем ви дозволяєте лише одне АБО, скільки ви дозволяєте в першому?

— Хуан Бермеджо Вега

Булева функція AND не може бути обчислена. Припустимо, що функція AND обчислюється ланцюгом . Тоді випливає, що одна з підсхем MOD повинна обчислити тоді вже функціонувати AND, що неможливо. $\text{OR} \circ \text{MOD}$

— Крістофер Арнсфельт Хансен
джерело

Ні, він прав. Тут неявне припущення полягає в тому, що n є постійним, і ми повинні мати можливість обробляти довільно велику кількість входів з воротами mod_n.

— Гаді

@GadiA Ага, добре. Це не було зрозуміло у вашому запитанні, принаймні людям, які не знайомі з цим полем. Я зробив незначну редакцію, яка повинна це прояснити.

— Жил "ТАК - перестань бути злим"

Так, моє запитання було дуже погано сформульоване, вибачте.

— Гаді А

@Gilles Ви можете мені пояснити, яку фан-ін тут ми розглядаємо? Проблема для мене полягає в тому, що я не бачу, чому підсхема MOD не може обчислити І? Скільки входів має цей MOD і цей І?