Кількість кліки у випадкових графах

Існує сімейство випадкових графіків $G(n, p)$ з $n$ вузлами ( завдяки Гілберту ). Кожен можливий край незалежно вставляється в $G(n, p)$ з вірогідністю $p$ . Нехай $X_k$ - кількість кліків розміром $k$ у $G(n, p)$ .

Я знаю, що , але як це довести? $\mathbb{E}(X_k)=\tbinom{n}{k}\cdot p^{\tbinom{k}{2}}$

Як показати, що для $\mathbb{E}(X_{\log_2n})\ge1$ $n\to\infty$ ? І як показати, що для та фіксованій, довільній постійній ? $\mathbb{E}(X_{c\cdot\log_2n}) \to 0$ $n\to\infty$ $c>1$

— user1374864
джерело

Тому в основному є три питання.

Я знаю, що $E(X_k)=\tbinom{n}{k}\cdot p^{\tbinom{k}{2}}$ , але як це довести?

Ви використовуєте лінійність очікування та розумне переписування. Перш за все, зауважте, що Тепер, приймаючи очікування , можна просто вивести суму (за рахунок лінійності) і отримати Склавши суму, ми усунули всі можливі залежності між підмножинами вузлів. Отже, яка ймовірність того, що - клика? Ну, незалежно від того, з чого складається , всі ймовірності ребра рівні. Тому

X_{k} = \sum_{T \subseteq V, | T | = k} 1 [T is clique] .

$X_k = \sum_{T \subseteq V, \, |T|=k} \mathbb{1}[T \text{ is clique}].$

X_{k}

$X_k$

Е (Х_{к}) = \sum_{Т \subseteq V, | Т | = к} Е (1 [Т є кликою]) = \sum_{Т \subseteq V, | Т | = к} П r [Т є кликою]

$\mathrm{E}(X_k) = \sum_{T \subseteq V, \, |T|=k} \mathrm{E}(\mathbb{1}[T \text{ is clique}]) = \sum_{T \subseteq V, \, |T|=k} \mathrm{Pr}[T \text{ is clique}]$

T

$T$

T

$T$

P r [T is clique] = p^{(\binom{k}{2})}

$\mathrm{Pr}[T \text{ is clique}] = p^{k \choose 2}$ , оскільки всі ребра в цьому підграфі повинні бути присутніми. І тоді внутрішній доданок суми більше не залежить від , залишаючи нам .

T

$T$

E (X_{k}) = p^{(\binom{k}{2})} \sum_{T \subseteq V, | T | = k} 1 = (\binom{n}{k}) \cdot p^{(\binom{k}{2})}

$\mathrm{E}(X_k) = p^{k \choose 2} \sum_{T \subseteq V, \, |T|=k} 1 = {n \choose k} \cdot p^{k \choose 2}$

Як показати, що для : $n\rightarrow\infty$ $E(X_{\log_2n})\ge1$

Я не зовсім впевнений, чи це навіть правильно. Застосувавши зв’язок на біноміальний коефіцієнт, отримаємо

Е (Х_{журнал н}) = (\binom{н}{журнал н}) \cdot p^{(\binom{журнал н}{2})} \leq {(\frac{н е p^{\frac{(журнал н)}{4}}}{журнал н})}^{журнал н} = {(\frac{н е \cdot н^{(журнал p) / 4}}{журнал н})}^{журнал н} .

$E(X_{\log n}) = {n \choose \log n} \cdot p^{\log n \choose 2} \leq \left(\frac{n e p^\frac{(\log n)}{4}}{\log n}\right)^{\log n} = \left(\frac{ne \cdot n^{(\log p) / 4}}{\log n}\right)^{\log n}.$ (Зверніть увагу, що я приблизно верхньо обмежений від .) Однак тепер можна було вибрати , і отримати це , що змушує весь член перейти до для великих . Ви, можливо, не вистачаєте припущень щодо ?

p^{\frac{- 1 + \log n}{2}}

$p^\frac{-1 + \log n}{2}$

p^{\frac{\log n}{4}}

$p^\frac{\log n}{4}$

p = 0.001

$p = 0.001$

\log_{2} 0.001 \approx - 9.96

$\log_2 0.001 \approx -9.96$

0

$0$

n

$n$

p

$p$

— HdM
джерело

Це так? . Чи не повинно бути але тепер я не знаю, як продовжувати

E (X_{\log n}) = (\binom{n}{\log n}) \cdot p^{(\binom{\log n}{2})} \leq {(\frac{n e p^{\frac{(\log n)}{4}}}{\log n})}^{\log n}

$E(X_{\log n}) = {n \choose \log n} \cdot p^{\log n \choose 2} \leq \left(\frac{n e p^\frac{(\log n)}{4}}{\log n}\right)^{\log n}$

Е (Х_{журнал н}) = (\binom{н}{{журнал}_{2} н}) \cdot p^{(\binom{{журнал}_{2} н}{2})} \leq {(\frac{н е}{{журнал}_{2} н})}^{журнал н} \cdot p^{\frac{({журнал}_{2} (н) \cdot е)^{2}}{4}}

$E(X_{\log n}) = {n \choose \log_2 n} \cdot p^{\log_2 n \choose 2} \leq \left(\frac{n e}{\log_2 n}\right)^{\log n}\cdot p^\frac{(\log_2 (n)\cdot e)^2}{4}$

— користувач1374864

Я застосував вказане обмеження лише на . Для ви можете помітити, що . Тепер, оскільки , ми хочемо зменшити його показник (переконати себе чому). Для досить великого маємо, що . Тому наведені вище обчислення повинні бути правильними ...

(\binom{n}{\log n})

${n \choose \log n}$

p

$p$

(\binom{\log n}{2}) = (\log n) (\log n - 1) / 2

${\log n \choose 2} = (\log n) (\log n -1)/2$

p \leq 1

$p \leq 1$

n

$n$

(\log n) (\log n - 1) / 2 > (\log n)^{2} / 4

$(\log n) (\log n -1)/2 > (\log n)^2 / 4$

— HdM

Що з третім питанням?

— Черга

Він страждає від тієї ж проблеми, що і друге питання. Вибачте, я мав би це уточнити.

— HdM

Кількість кліки у випадкових графах

Я знаю, що Е( Xк) = ( nк) ⋅стор( к2)E(Xk)=(nk)⋅p(k2)E(X_k)=\tbinom{n}{k}\cdot p^{\tbinom{k}{2}} , але як це довести?

Як показати, що для :E ( X log 2 n ) ≥ 1n → ∞н→∞n\rightarrow\inftyЕ( Xжурнал2н) ≥ 1Е(Хжурнал2⁡н)≥1E(X_{\log_2n})\ge1

Я знаю, що $E(X_k)=\tbinom{n}{k}\cdot p^{\tbinom{k}{2}}$ , але як це довести?

Як показати, що для : $n\rightarrow\infty$ $E(X_{\log_2n})\ge1$