Представлення негативних та складних чисел за допомогою обчислення лямбда

Більшість навчальних посібників з обчислення лямбда надають приклад, коли позитивні цілі чи булеві символи можуть бути представлені функціями. Що про -1 і я?

— zcaudate
джерело

Відповіді:

Спочатку кодуйте натуральні числа та пари, як описано jmad.

Представіть ціле число $k$ як пару натуральних чисел $(a,b)$ таких, що $k = a - b$ . Тоді ви можете визначити звичайні операції над цілими числами (використовуючи позначення Haskell для $\lambda$ -cculus):

neg = \k -> (snd k, fst k)
add = \k m -> (fst k + fst m, snd k + snd m)
sub = \k m -> add k (neg m)
mul = \k m -> (fst k * fst m + snd k * snd m, fst k * snd m + snd k * fst m)

Випадок складних чисел схожий у тому сенсі, що складне число кодується як пара дій. Але складнішим питанням є кодування реалів. Тут вам доведеться зробити більше роботи:

Кодуйте раціональне число як пару де - ціле число, - природне, а $q$ $(k,a)$ $k$ $a$ $q = k / (1 + a)$ .
Кодуйте дійсне число функцією такою, що для кожного природного , кодує раціональне число таке, що . Іншими словами, реальне кодується як послідовність раціоналів, що сходяться до нього зі швидкістю . $x$ $f$ $k \in \mathbb{N}$ $f k$ $q$ $|x - q| < 2^{-k}$ $k \mapsto 2^{-k}$

Кодування реалів - це велика робота, і ви не хочете насправді робити це у -калькуляції. Але дивіться, наприклад, підкаталог Маршалла для простої реалізації дій у чистому Haskell. Це, в принципі, можна перекласти на чистий -рахунок. $\lambda$ etc/haskell $\lambda$

— Андрій Бауер
джерело

Вау =) Інтуїтивно мені цікаво, що це означає ... наприклад, використовуючи кодування церковних чисел ... тобто. церковне число цілого значення n представлено функцією, яка застосовує функцію до значення n разів. Чи мають пари та негативні значення лямбда таке інтуїтивне відчуття щодо них?

— zcaudate

Церковне кодування кодує натуральні числа

, ... Це не кодує негативні числа. У відповіді вище я припускав, що ви вже знаєте про кодування натуральних чисел, тому я пояснив, як отримати цілі числа. Цілі числа, котрі я кодував їх, є більш формальною конструкцією, на відміну від церковних цифр, які більш складно пов'язані з

обчисленням. Я не думаю, що "негативні лямбда-значення" - це змістовна фраза.

0

$0$

1

$1$

2

$2$

λ

$\lambda$

— Андрій Бауер

@zcaudate [Тип анотація: i:ℤ, x:a, f,u,s:a→a, p:(a→a,a→a)] Якщо ви закодувати ℤ , як (Sign,ℕ)то, враховуючи пар функцій , (s,f)як pцей термін λi.λp.λx.(fst i) (fst p) id ((snd i) (snd p) x)буде виробляти або f(…f(x)…)або s(f(…f(x)…))(якщо результат негативний). Якщо ви кодуєте ℤ як (ℕ,ℕ), вам потрібна функція, яка має зворотну задану пару, (f,u)і xфункція λi.λp.λx.(snd i)(snd p)((fst i)(fst p) x)буде виробляти, u(…u(f(…f(x)…))…)яка залишить fзастосований iчас до x. Обидва працюють в різних контекстах (результат можна "перевернути" || fнеперевернутий).

— ніхто

@zcaudate Додаткові функції необхідні, оскільки закодовані Церквою числа "повторюються самостійно", але пари передають вам лише їх компоненти. Допоміжні функції просто склеюють компоненти разом у "правильному" порядку (що відбувається автоматично для нац.) Дивіться також: en.wikipedia.org/wiki/… - Кодування церкви в основному fold . ctorдля будь-якого конструктора і цього типу fold( r). (Саме тому, для рекурсивних типів, дані будуть «рекурсія на своєму» Для НЕ рекурсивних типів це більше схожі. case/ Матч шаблону.)

— ніхто НЕ

Лямбда-числення може кодувати більшість структур даних та основних типів. Наприклад, ви можете кодувати пару існуючих термінів в обчисленні лямбда, використовуючи те саме кодування Церкви, яке зазвичай бачите для кодування негативних цілих чисел та булевих:

pair = λ x y z . z x y

$\mbox{pair}= λxyz.zxy$

fst = λ p . p (λ x y . x)

$\mbox{fst} = λp.p(λxy.x)$

snd = λ p . p (λ x y . y)

$\mbox{snd} = λp.p(λxy.y)$

Тоді пара - і якщо ви хочете повернутися і ви можете зробити і $(a,b)$ $p=(\mbox{pair }ab)$ $a$ $b$ $(\mbox{fst }p)$ $(\mbox{snd }p)$ .

Це означає, що ви можете легко представити додатні та від’ємні цілі числа за допомогою пари: знак зліва та абсолютне значення праворуч. Знак - булева, яка визначає, чи є позитивним число. Право - це натуральне число з використанням кодування Церкви.

(s i g n, n)

$(sign,n)$

А тепер у вас відносні цілі числа. Множення легко визначити, потрібно просто застосувати функцію $\mbox{xor}$ від знака і множення на натуральних числах по абсолютній величині:

{mult}_{ℤ} = λ a b . pair (xor (fst a) (fst b)) ({mult}_{ℕ} (snd a) (snd b))

$\mbox{mult}_ℤ=λab.\mbox{pair} ~~(\mbox{xor}(\mbox{fst }a)(\mbox{fst }b)) ~~(\mbox{mult}_ℕ(\mbox{snd }a)(\mbox{snd }b))$

Щоб визначити додавання, вам слід порівняти два натуральних числа та використати віднімання, коли знаки різні, тому це не λ-термін, але ви можете адаптувати його, якщо дійсно хочете:

{add}_{ℤ} = λ a b . {\begin{cases} (true, {add}_{ℕ} (snd a) (snd b)) & if a \geq 0 \land b \geq 0 \\ (false, {add}_{ℕ} (snd a) (snd b)) & if a < 0 \land b < 0 \\ (true, {sub}_{ℕ} (snd a) (snd b)) & if a \geq 0 \land b < 0 \land | a | \geq | b | \\ (false, {sub}_{ℕ} (snd b) (snd a)) & if a \geq 0 \land b < 0 \land | a | < | b | \\ (true, {sub}_{ℕ} (snd b) (snd a)) & if a < 0 \land b \geq 0 \land | a | < | b | \\ (false, {sub}_{ℕ} (snd a) (snd b)) & if a < 0 \land b \geq 0 \land | a | \geq | b | \end{cases}

$\mbox{add}_ℤ=λab.\left\{\begin{array}{ll} (\mbox{true},\mbox{add}_ℕ(\mbox{snd }a)(\mbox{snd }b)) & \mbox{if } a≥0∧b≥0 \\ (\mbox{false},\mbox{add}_ℕ(\mbox{snd }a)(\mbox{snd }b)) & \mbox{if } a<0∧b<0 \\ (\mbox{true},\mbox{sub}_ℕ(\mbox{snd }a)(\mbox{snd }b)) & \mbox{if } a≥0∧b<0∧|a|≥|b| \\ (\mbox{false},\mbox{sub}_ℕ(\mbox{snd }b)(\mbox{snd }a)) & \mbox{if } a≥0∧b<0∧|a|<|b| \\ (\mbox{true},\mbox{sub}_ℕ(\mbox{snd }b)(\mbox{snd }a)) & \mbox{if } a<0∧b≥0∧|a|<|b| \\ (\mbox{false},\mbox{sub}_ℕ(\mbox{snd }a)(\mbox{snd }b)) & \mbox{if } a<0∧b≥0∧|a|≥|b| \\ \end{array}\right.$

але тоді відняття визначити дуже просто:

{minus}_{ℤ} = λ a . pair (not (fst a)) (snd a)

$\mbox{minus}_ℤ=λa.\mbox{pair}(\mbox{not}(\mbox{fst } a))(\mbox{snd } a)$

{sub}_{ℤ} = λ a b . {add}_{ℤ} (a) ({minus}_{ℤ} b)

$\mbox{sub}_ℤ=λab.\mbox{add}_ℤ(a)(\mbox{minus}_ℤb)$

$(a,b)$ $a+b\mbox{i}$

{add}_{ℤ [i]} = λ z_{1} z_{2} . pair ({add}_{ℤ} (fst z_{1}) (fst z_{2})) ({add}_{ℤ} (snd z_{1}) (snd z_{2}))

$\mbox{add}_{ℤ[\mbox{i}]}=λz_1z_2.\mbox{pair} (\mbox{add}_ℤ(\mbox{fst }z_1)(\mbox{fst }z_2)) (\mbox{add}_ℤ(\mbox{snd }z_1)(\mbox{snd }z_2))$

— jmad
джерело

You can avoid the case distinctions if instead you represent the integer

k

$k$ as a pair of natural numbers

(a, b)

$(a,b)$ such that

k = a - b

$k = a - b$ .

— Andrej Bauer

Complex integers alright, but he was asking for complex numbers. Then again, they of course can never be represented since there are uncountable.

— HdM

@AndrejBauer: very nice trick (maybe not that simpler) HdM: sure they can, even in not all of them. But I figured that the method for building stuff in the λ-calculus with Church encoding was more important/appropriate here.

— jmad

I wish I could give two correct answers =) I wasn't even thinking that reals could be represented when I asked about complex numbers but there you go!.

— zcaudate