Як довести, що граматика однозначна?

Моя проблема полягає в тому, як я можу довести, що граматика однозначна? У мене є така граматика:

і зробити це однозначною граматикою, я вважаю її правильним:

• $S → S_1 ∣ S_2$

• $S_1 → \mbox{if } expression \mbox{ then } S ∣ \mbox{if } expression \mbox{ then } S_2 \mbox{ else } S_1$

• $S_2 → \mbox{if } expression \mbox{ then } S_2 \mbox{ else } S_2 ∣ statement$

Я знаю, що однозначна граматика має одне дерево розбору на кожен термін.

Існує (принаймні) один з способів довести однозначність граматики для мови . Він складається з двох етапів:$G = (N,T,\delta,S)$$L$

1. Доведіть .$L \subseteq \mathcal{L}(G)$
2. Доведіть.$[z^n]S_G(z) = |L_n|$

Перший крок досить зрозумілий: покажіть, що граматика породжує (принаймні) потрібні слова, тобто правильність.

Другий крок показує, що має стільки синтаксичних дерев для слів довжини скільки має слова довжини - з 1. Це означає однозначність. Він використовує структурну функцію яка повертається до Хомського та Шютценбергера [1], а самеn L n $G$$n$$L$$n$$G$

$\qquad \displaystyle S_G(z) = \sum_{n=0}^\infty t_nz^n$

при кількість синтаксичних дерев має слова довжини . Звичайно, потрібно матищоб це працювало.G n | L n $t_n = [z^n]S_G(z)$$G$$n$$|L_n|$

Приємно, що (як правило) легко отримати для без контекстних мов, хоча знайти закриту форму для може бути складно. Перетворіть у систему рівнянь функцій з однією змінною на нетермінальний:t n$S_G$$t_n$$G$

$\qquad \displaystyle \left[ A(z) = \sum\limits_{(A, a_0 \dots a_k) \in \delta} \ \prod\limits_{i=0}^{k} \ \tau(a_i)\ : A \in N \right] \text{ with } \tau(a) = \begin{cases} a(z) &, a \in N \\ z &, a \in T \\ \end{cases}.$

Це може виглядати непросто, але насправді є лише синтаксичною трансформацією, як стане зрозуміло в прикладі. Ідея полягає в тому, що генеруються термінальні символи враховуються в показнику , і тому , що система має той же вигляд, , відбувається так часто , в сумі , як термінали можуть бути отримані з допомогою . Перевірте Kuich [2] для подробиць.G z n n $z$$G$$z^n$$n$$G$

Розв’язуючи цю систему рівнянь (комп'ютерна алгебра!), ; тепер вам "лише" доводиться тягнути коефіцієнт (у закритому, загальному вигляді). Лист ТКС Чит та комп'ютерної алгебри часто може зробити це.$S(z) = S_G(z)$

Приклад

Розглянемо просту граматику з правилами$G$

$\qquad \displaystyle S \to aSa \mid bSb \mid \varepsilon$ .

Зрозуміло, що (крок 1, доведення індукцією). Є паліндроми довжиною якщо парне, інакше.2 $\mathcal{L}(G) = \{ww^R \mid w \in \{a,b\}^*\}$ nn$2^{\frac{n}{2}}$$n$$n$$0$

Налаштування виходу системи рівнянь

$\qquad \displaystyle S(z) = 2z^2S(z) + 1$

рішення якого

$\qquad \displaystyle S_G(z) = \frac{1}{1-2z^2}$ .

Коефіцієнти збігаються з числами паліндромів, тому неоднозначно.$S_G$ $G$

1. Алгебраїчна теорія безконтекстних мов Хомського, Шютценбергер (1963)
2. Про ентропію без контекстних мов Куйча (1970)

Це гарне запитання, але якийсь Гуглінг сказав би вам, що не існує загального методу вирішення двозначності , тому вам потрібно зробити своє питання більш конкретним.

Для деяких граматик можливе доведення за допомогою індукції (над довжиною слова).

Розглянемо для прикладу граматику над Σ = { a , b }, задану такими правилами:$G$$\Sigma = \{a,b\}$

$\qquad \displaystyle S \to aSa \mid bSb \mid \varepsilon$

Усі слова довжиною у L ( G ) - є лише ε - мають лише одне лівослівне.$\leq 1$$L(G)$$\varepsilon$

Припустимо, що всі слова довжиною для деякого n ∈ N мають лише одне лівослівне.$\leq n$$n \in \mathbb{N}$

Тепер розглянемо довільне для деяких n > 0 . Ясна річ, w 1 ∈ Σ . Якщо w 1 = a , ми знаємо, що першим правилом у кожному лівому виведенні має бути S → a S a ; якщо w 1 = b , це повинно бути S → b S $w = w_1 w' w_n \in L(G) \cap \Sigma^n$$n > 0$$w_1 \in \Sigma$$w_1 = a$$S \to aSa$$w_1 = b$$S \to bSb$. Це стосується всіх справ. За індукційною гіпотезою ми знаємо, що для існує точно одне ліве виведення . У поєднанні ми робимо висновок, що для w є також точно одна ліва деривація .$w'$$w$

Це стає складніше, якщо

• є кілька нетерміналів,
• граматика не є лінійною та / або
• граматика ліво-рекурсивна.

Це може допомогти посилити претензію до всіх сентенційних форм (якщо граматика не має непродуктивних нетерміналів) та «кореневих» нетерміналів.

Я думаю, що перехід до нормальної форми Грейбаха підтримує (не) неоднозначність, щоб застосувати цей крок спочатку, можливо, добре потурбується про ліву рекурсію.

Ключ - визначити одну особливість кожного слова, яка фіксує (принаймні) один крок виведення. Решта слід індуктивно.

В основному це проблема покоління дитини. Почніть з першого виразу та генеруйте це діти .... Продовжуйте це робити рекурсивно (DFS), і після досить кількох ітерацій, перевірте, чи зможете ви генерувати те саме розширене вираження у двох різних дітей. Якщо ви можете це зробити, це неоднозначно. Однак немає можливості визначити час роботи цього алгоритму. Припустимо, що це безпечно, після того, як, можливо, народиться 30 рівнів дітей :) (Звичайно, це може бомбити 31-го)