Десята проблема Гільберта та рівняння Діофантіна Хайтіна "Комп'ютер"?

У мета математики Хайтіна ! Квест «Омега» , він коротко розповідає про десяту проблему Гільберта. Потім він каже, що будь-яке Діофантинове рівняння можна змінити на два рівні многочлени з позитивними цілими коефіцієнтами: .p = $p=0$$p=0 \iff p_1 = p_2$

Потім він каже, що ми можемо думати про ці рівняння як "комп'ютер":

Комп'ютер рівняння діофантіна : Програма: , Вихід: , Час:

$$L(k,n,x,y,z,...)=R(k,n,x,y,z,...)$$ $k$ $n$ $x,y,z,...$

З лівого боку , правий боковий . Він каже, що - програма цього комп'ютера, яка виводить . Він також каже, що невідомі є багатовимірною змінною часу .R k $L$$R$$k$$n$

Що мене бентежить, це те, що він потім каже, що десята проблема Гільберта явно не вирішується, якщо розглядати її таким чином. В основному він каже "через проблему зупинки Тьюрінга". Але я не бачу зв'язку (я тільки починаю вивчати теорію). Я сподівався, що хтось може чіткіше пояснити, що тут полягає в Хайтіна.

Я знаю, що проблема зупинки Тьюрінга в основному говорить про те, що ви не можете передбачити, коли програма зупиниться, перш ніж вона фактично зупиниться (з урахуванням обмеженого часу). Який додаток до 10-ї проблеми Гільберта, використовуючи позначення, викладені Чайтіном?

Хороше питання. Здається, що вам може знадобитися додаткова інформація про десяту проблему Гільберта. Я сподіваюся, що це не надмірно.

Проблема запитує:

Чи існує алгоритм, який, даючи поліном Діофантіна, вирішує, чи існує встановлення його змінних, яке робить його рівним ?$0$

Це було вирішено в 70-х роках як наслідок MRDP (який також називають теоремою Матіясевича, якщо ви хочете його шукати), який говорить:

Визначте: Набір є Діофантіном, якщо на входах є поліном Діофантіна таким чином, що . p k + 1 D = { $D \subset \mathbb{N}$$p$$k+1$$D = \{ x \, | \, \exists y \in \mathbb{R}_+^k \, p(x, y) = 0\}$

Діофантинові набори - це саме ті, які впізнавані машинами Тьюрінга.

Ця теорема очевидна в одному напрямку (кожен набір Діофантіна розпізнається Тюрінг-машиною - на вході просто попросіть вашу машину починати вгадувати вектори , оцінювати , і зупиняйте, якщо / коли знайдете, що ). В іншому напрямку це зовсім не очевидно - чому правда, що кожен впізнаваний набір Тьюрінга - це Діофантін? Схеми кодування огидні, але, повірте, це можна зробити.$x$$y \in \mathbb{R}_+^k$$p(x, y)$$p(x, y) = 0$

У будь-якому випадку, як теорема MRDP вирішує десяту проблему Гільберта? Добре...

Для протиріччя зробимо вигляд, що у нас є алгоритм, який, даючи поліном Діофантіна , вирішує, чи існує вхідний вектор який викликає .$p(y)$$y$$p(y) = 0$

Тепер я буду використовувати цей магічний алгоритм для вирішення проблеми зупинки. Давши машину, я буду використовувати огидне кодування рівнянь Діофантіна для перетворення проблеми "Чи зупиняється на вході ?" в задачу "Чи має в поліномі Діофантіна набір входів, що робить його рівним ?" Тоді я використаю свій магічний алгоритм для вирішення цієї проблеми, і тепер я вирішив проблему зупинки.$M$$x$$p(y | x)$$0$

Звичайно, це неможливо, тому насправді не може бути магічного алгоритму, який шукає вхідний вектор, що викликає . Так само не може бути алгоритму, який розглядає два поліноми Діофантіна і вирішує, чи є вони колись рівними. Ось що говорить Чейтін.$p(y) = 0$