Що таке алгоритм наближення двокритерій?

Що таке алгоритм наближення двокритерій? Це з'являється у випадку кластеризації потоків даних. Чи пов’язано це з багатоцільовою оптимізацією?

Ось де я натрапив на це: cis.upenn.edu/~sudipto/mypapers/datastream.pdf. У статті йдеться про потокову версію алгоритму k-означає. У статті є посилання, але жодна з них не дає пояснення, що таке алгоритм наближення двокритерій. Я, здається, не можу знайти нічого в Google, що також дасть мені точне визначення.

Я розкрию відповідь Юваля Філіуса , надавши інтерпретацію, засновану на проблемах оптимізації багатоцільової .

Одноцільна оптимізація та наближення

В інформатиці ми часто вивчаємо проблеми оптимізації з однією ціллю (наприклад, мінімізуємо f ( x ) з певним обмеженням). Підтверджуючи, скажімо, повноту NP, звичайно враховувати відповідну бюджетну проблему . Наприклад, у задачі про максимальну кліку мета полягає в тому, щоб максимально збільшити кардинальність кліки, а бюджетна проблема - це проблема вирішення питання про те, чи існує кліка розміром принаймні k , де k надається як частина входу до проблема.

Коли неможливо ефективно обчислити оптимальне рішення, як у випадку проблеми з максимальною клікою, ми шукаємо алгоритм наближення , функцію, яка виводить рішення в межах мультиплікативного коефіцієнта оптимального рішення. Ви також можете розглянути алгоритм наближення бюджетної задачі - функцію, яка видає рішення, що задовольняє f ( x ) ≥ ck у випадку задачі про максимізацію, де c - число менше одиниці. У цій ситуації рішення може порушити жорстке обмеження f ( x ) ≥ k , але "тяжкість" порушення обмежена c .

Багатоцільова оптимізація та двокритеріальна апроксимація

У деяких випадках ви можете оптимізувати дві цілі одночасно. Наводячи приблизний приклад, я можу захотіти збільшити свій "дохід", мінімізуючи свою "вартість". У такій ситуації не існує єдиного оптимального значення, оскільки існує компроміс між двома цілями; Для отримання додаткової інформації дивіться статтю Вікіпедії про ефективність Pareto .

Одним із способів перетворення двоцільної задачі оптимізації в однообективну оптимізаційну задачу (для якої ми можемо міркувати про оптимальне значення цільової функції) є розгляд двох проблем обмеження , по одній для кожної мети. Якщо проблема полягає в тому, щоб одночасно максимізувати f ( x ), мінімізуючи g ( x ), першою проблемою обмеження є мінімізація g ( x ) з урахуванням обмеження f ( x ) ≥ k , де k задається як частина входу до ця одноцільна проблема оптимізації. Друга проблема обмеження визначається аналогічно.

Алгоритм наближення двокритерій ( α , β ) для першої задачі обмеження - це функція, яка приймає бюджетний параметр k як вхідний і виводить рішення x таке, що

• $f(x) \geq \alpha k$
• $g(x) \leq \beta g(x^*)$

$x^*$

• $f(x) \geq \alpha f(x^*)$
• $g(x) \leq \beta \ell$

Іншими словами, алгоритм наближення двокритерій є одночасно апріксимацією бюджетної проблеми в першій цілі та задачею оптимізації у другій цілі. (Це визначення було адаптовано з четвертої сторінки " Субмодулярна оптимізація з субмодулярною обкладинкою та субмодулярними обмеженнями рюкзака ", Iyer and Bilmes, 2013.)

Нерівності перемикають напрямки, коли цілі переключаються з максимуму на мінімум або навпаки.

$k$$\rho$$k$$V_1,\ldots,V_k$$\rho$$E(V_1,\ldots,V_k)$$\rho$

$f(n),g(n) \geq 1$$f(n),g(n)$$V_1,\ldots,V_k$$f(n)\rho$$g(n)\mathrm{OPT}$$\mathrm{OPT}$$\rho$

Іншими словами, алгоритм наближення бікритерій досягає певного коефіцієнта наближення, порушуючи деяке обмеження на деяку обмежену величину. Для прикладу алгоритму наближення бікритеріалів для щойно описаної проблеми дивіться цю статтю брати Макаричів.