Доведіть, що кожні два найдовші шляхи мають принаймні одну вершину спільного

Якщо граф підключений і не має ніякого шляху з довжиною більше , ніж , доводять , що кожні два шляхи в довжини , по крайней мере , одну загальну вершину. $G$ $k$ $G$ $k$

Я думаю, що ця загальна вершина повинна бути посередині обох контурів. Тому що якщо це не так, то ми можемо мати шлях довжиною . Я правий? $>k$

graph-theory graphs combinatorics

— Саурах
джерело

Контрприклад для спрямованого графіка, який не сильно пов'язаний: вершини

, ребра

, шляхи

не мають спільної вершини.

A, B, C, D

$A,B,C,D$

A \to C

$A \to C$

A \to D

$A \to D$

B \to D

$B \to D$

A \to C

$A \to C$

B \to D

$B \to D$

— sdcvvc

@sdcvvc, ви можете надати це як відповідь.

@sdcvvc Я гадаю, що питання обмежено непрямими графами.

— Рафаель

Чи можете ви підтвердити (або підтвердити), що

- це непрямий графік, і ви розглядаєте лише прості (= без циклу) шляхи?

G

$G$

— Жил "ТАК - перестань бути злим"

@Gilles Так, графік непрямий, а шлях - прогулянка, в якій містяться чіткі краї та вершини.

— Саураб

Відповіді:

Припустимо противного , що $P_{1} = \langle v_{0},\ldots,v_{k}\rangle$ і $P_{2} = \langle u_{0},\ldots,u_{k}\rangle$ два шляхи в $G$ довжини $k$ без загальних вершин.

Оскільки $G$ пов'язаний, для деякого існує шлях $P'$ з'єднує $v_{i}$ до $u_{j}$ такий, що не має вершин з крім та . Скажімо $i,j \in [1,k]$ $P'$ $P_{1} \cup P_{2}$ $v_{i}$ $u_{j}$ $P' = \langle v_{i},x_{0},\ldots,x_{b},u_{j}\rangle$ (зверніть увагущо там може бути не $x_{i}$ вершина, тобто, $b$ може бути $0$ - позначення трохи дефіцитніхоча).

Без втрати загальності можна вважати, що $i,j \geq \lceil\frac{k}{2}\rceil$ (ми завжди можемо змінити нумерацію). Тоді ми можемо побудувати новий шлях $P^{*} = \langle v_{0},\ldots,v_{i},x_{1},\ldots,x_{b},u_{j},\ldots,u_{0}\rangle$ (йдучи по $P_{1}$ до $v_{i}$ , потім через міст формується по $P'$ до $u_{j}$ , потім по $P_{2}$ до $u_{0}$ ).

Очевидно, що $P^{*}$ має довжину щонайменше $k+1$ , але це суперечить припущенню, що $G$ не має шляхів довжиною більше $k$ .

Тож будь-які два шляхи довжиною $k$ повинні перетинатися принаймні однією вершиною, і ваше зауваження, що воно повинно бути посередині (якщо є лише один), слідує, як ви міркували.

— Люк Матієсон
джерело

Я думаю, що вам потрібно

, інакше новий шлях необов'язково довший. Зверніть увагу, що

можливе.

j \leq ⌊ \frac{k}{2} ⌋

$j \leq \lfloor\frac{k}{2}\rfloor$

b = 0

$b=0$

— Рафаель

@Raphael Так, я прямо не заявив це (і використовував злегка оманливі позначення), але

може бути щасливим

, міст завжди додає хоча б один край, хоча навіть якщо єдиними вершинами в

. На першому пункті зауважте, що я побудував шлях з

, тому

b

$b$

0

$0$

P^{'}

$P'$

v_{i}

$v_{i}$

u_{j}

$u_{j}$

v_{0} \to v_{i} \to u_{j} \to u_{0}

$v_{0} \rightarrow v_{i} \rightarrow u_{j}\rightarrow \mathbf{u_{0}}$

правильно. Якщо вона перейшла до

то

j \geq ⌈ \frac{k}{2} ⌉

$j \geq \lceil\frac{k}{2}\rceil$

u_{k}

$u_{k}$

буде правильним умовою.

j \leq ⌊ \frac{k}{2} ⌋

$j \leq \lfloor\frac{k}{2}\rfloor$

— Люк Матхісон

Ви маєте рацію, що загальна вершина повинна виникати посередині обох шляхів.

Однак інтуїція не вирішить актуальну проблему, яку ви намагаєтеся вирішити.

Натомість спробуйте продемонструвати, що, враховуючи будь-яку точку шляху, відрізок шляху від (і включаючи), який вказує на один із кінців початкового шляху, повинен мати строго більше половини стільки вузлів, скільки повний шлях.

Після того, як ви продемонстрували це, ви зможете як вирішити проблему, про яку ви запитали, так і перевірити свою думку.

— btilly
джерело