Які алгоритми існують для вирішення лінійних систем натуральних чисел?

Я переглядаю таку проблему:

Дано $n$-вимірні вектори натуральних чисел $v_1, \ldots, v_m$ і деякий вхідний вектор $u$, є $u$ лінійна комбінація $v_i$з натуральними коефіцієнтами чисел?

тобто є якісь $t_1, \ldots, t_m \in \mathbb{N}$ де $u = t_1 v_1 + \dots + t_m v_m$?

Очевидно, що реальну версію цієї проблеми можна вирішити за допомогою Гауссової ліквідації. Мені цікаво, чи вивчена ціла версія цієї проблеми? Які алгоритми існують для його вирішення?

Зауважте, що для цього використовуються натуральні числа, але не модульна арифметика, тому це дещо окремо від китайської теореми залишків та подібних систем. Також, схоже, це стосується рівнянь Діофантіна, але мені цікаво, що було зроблено у випадку, коли розглядаються лише невід’ємні цілі числа? Це також нагадує багатовимірну задачу підмножини, узагальнену, щоб ми могли взяти довільну кількість копій кожного вектора. Це також здається пов'язаним із тестуванням, чи є$u$є елементом решітки, породженої$v_1,\dots,v_m$, за винятком того, що тут ми допускаємо лише лінійні комбінації з негативними коефіцієнтами.

Для всіх, хто цікавиться, це мотивується переглядом того, чи є вектор Париха в лінійному наборі, як у теоремі Паріха .

Зокрема, мене цікавить алгоритм, який міг би вирішити проблему, використовуючи лише операції з натуральним числом, уникаючи попадання в цифри реальних / плаваючих точок.

Ваша проблема є NP-повною, зменшенням від сукупності підмножини (це в NP, оскільки факт, що все є негативним, досить добре обмежує коефіцієнти рішення). Дано екземпляр$S = \{s_1,\ldots,s_n\}, T$ суми підмножини (чи існує підмножина $S$ підсумовуючи до $T$?), ми побудуємо екземпляр $v_1,\ldots,v_{2n},u$вашої проблеми наступним чином. Для кожного$1 \leq i \leq n$, ми кладемо $v_i$ бути вектором з двома ненульовими записами: $v_{i,i} = 1$ і $v_{i,n+1} = s_i$, і $v_{n+i}$ бути вектором з унікальним ненульовим записом $v_{n+i,i} = 1$. Цільовим вектором є$u=1,\ldots,1,T$. Кожне природне поєднання$v_1,\ldots,v_{2n}$ дорівнює $1,\ldots,1,\ast$ повинен вибрати саме один із кожного $v_i,v_{n+i}$, і так кодує підмножину $S$ сума яких - значення останнього компонента.