Чи існує повне набране лямбда числення Тюрінга?

Чи існують якісь цілі введені лямбда-калькуляції Тьюрінга? Якщо так, то які кілька прикладів?

computability lambda-calculus type-theory

Дивіться також stackoverflow.com/questions/25255413 / ... і cstheory.stackexchange.com/questions/29519 / ...

— ziggurism

Так, авжеж. Багато набраних лямбда-обчислень приймають лише сильно нормалізуючі умови за конструкцією, тому вони не можуть виражати довільних обчислень. Але типовою системою може бути все що завгодно; зробіть його досить широким, і ви можете висловити всі детерміновані обчислення.

Система тривіального типу, що включає фрагмент обчислення лямбда-повного Тьюрінга, є тією, яка приймає кожен термін як добре набраний (з верхнім типом ).

\frac{}{Γ ⊢ М : ⊤}

$\dfrac{}{\Gamma \vdash M : \top}$

Більш практично, статично типізовані функціональні мови програмування мають в своїй основі типізоване обчислення лямбда, що дозволяє добре набирати комбінатор фіксованих точок . Наприклад, почніть з просто набраного лямбда-числення (або системи типу ML, або системи F, або будь-якої іншої системи типу на ваш вибір) і додайте правило, яке створює певний комбінатор точок, наприклад добре набрана. Правила, представлені вище, досить незграбні, оскільки вони вносять такі терміни, як $\mathbf{Y} = \lambda f. (\lambda x. f (x\,x)) (\lambda x. f (x\,x))$

\frac{Γ ⊢ f : Т \to Т}{Γ ⊢ Y f : Т} \frac{Γ ⊢ f : Т \to Т}{Γ ⊢ (λ х . f (х х)) (λ х . f (х х)) : Т}

$\dfrac{\Gamma \vdash f : T \rightarrow T} {\Gamma \vdash \mathbf{Y}\,f : T} \qquad \dfrac{\Gamma \vdash f : T \rightarrow T} {\Gamma \vdash (\lambda x. f (x\,x)) (\lambda x. f (x\,x)) : T}$

Y f

$\mathbf{Y}\,f$ добре набрані, навіть якщо їх складові не надруковані - вони не є повністю композиційними. Просте виправлення - додати комбінатор точок фіксації як константа мови та надати для нього правило дельти; тоді простою справою є система типу та семантика скорочення із збереженням типу . Ви відійдете від чистого обчислення лямбда в царство обчислення лямбда з константами.

\begin{matrix} \frac{}{Γ ⊢ виправити : (Т \to Т) \to Т} \\ виправити f \to f (виправити f) \end{matrix}

$\begin{gather*} \dfrac{}{\Gamma \vdash \textbf{fix} : (T \rightarrow T) \rightarrow T} \\ \textbf{fix}\,f \to f (\textbf{fix}\,f) \\ \end{gather*}$

Дотримуючись чистого обчислення лямбда, цікавою системою типу є обчислення лямбда з типами перетину.

\frac{Γ ⊢ М : Т_{1} Γ ⊢ М : Т_{2}}{Γ ⊢ М : Т_{1} \land Т_{2}} (\land Я) \frac{}{Γ ⊢ М : ⊤} (⊤ Я)

$\dfrac{\Gamma \vdash M : T_1 \quad \Gamma \vdash M : T_2} {\Gamma \vdash M : T_1 \wedge T_2} (\wedge I) \qquad\qquad \dfrac{} {\Gamma \vdash M : \top} (\top I)$

Типи перетину мають цікаві властивості щодо нормалізації:

Лямбда-термін можна вводити, не використовуючи правило правило, якщо воно сильно нормалізується. $\top I$
Лямбда-термін допускає тип, що не містить iff, він має нормальну форму. $\top$

Див. Характеристика лямбда-термінів, які мають типи об'єднання для ознайомлення з тим, чому типи перетину мають таку чудову область.

Таким чином, у вас є система типів, яка визначає повну мову Тьюрінга (оскільки кожен термін добре набрана), і просту характеристику завершення обчислень. Звичайно, оскільки система цього типу характеризує нормалізацію, вона не вирішується.

_{Зауваження до назв правил та : вони не мають формального значення, але їх вибирають свідомо. означає «введення», тому що ці правила введення - вони вводять символ ( або ) в тип нижче лінії. Подвійно ви знайдете правила усунення, коли символ з’являється над рядком, але не нижче. Наприклад, правило ввести перевірку лямбда-виразу в просто набраному лямбда-числі - це правило введення для , а правило для введення перевірки програми - це правило усунення для .
$(\top I)$ $(\wedge I)$ $I$ $\wedge$ $\top$ $\rightarrow$ $\rightarrow$}

— Жил "ТАК - перестань бути злим"
джерело