Ефективне знаходження максимального парного GCD набору натуральних чисел

Розглянемо наступну проблему:

Нехай є кінцевим підмножиною натуральних чисел.$S = \{ s_1, s_2, ... s_n \}$

Нехай | s_i, s_j \ in S, s_i \ neq s_j \} де gcd (x, y) - найбільший спільний дільник x і y$G = \{$ $gcd(s_i, s_j)$$s_i, s_j \in S,$ $s_i \neq s_j \}$$gcd(x,y)$$x$$y$

Знайти максимальний елемент $G$ .

Цю проблему можна вирішити, взявши найбільшого спільного дільника кожної пари за допомогою алгоритму Евкліда та відстежуючи найбільшу.

Чи існує більш ефективний спосіб вирішення цього питання?

Ось ефективний алгоритм (в Python ). Будь ласка, знайдіть пояснення нижче.

def max_gcd_pair(S):
    # Assumption 1: S is the list of numbers
    # Assumption 2: There are no duplicates in S

    s = set(S)
    m = max(S)

    res = 0
    i = m

    while(i > 0):
        a = i
        cnt = 0
        while (a<=m): # a maxed at max of the list
            if a in s:   
               cnt += 1
            a += i

        if cnt >= 2:  # we have found the result
            res = i
            break

        i = i -1 

    return res

Пояснення вищевказаного фрагмента коду:

У цій проблемі ми спостерігаємо:

1. Результат не може бути більше max(S)
2. Результат - це число, яке містить два чи більше кратних у цьому списку S
3. Фактично результат - це maxвсі такі числа із зазначеним вище властивістю.

За допомогою цих спостережень програма робить наступне:

1. Складіть setсписок. Оскільки в наборах можна ефективно шукатиO(log(n))
2. Знайдіть максимум списку і зберігайте його у змінній m.
3. Починаючи з mдо 1, знайдіть перше число, яке містить два чи більше кратних у наборі. Перше таке знайдене число - результат.

Сподіваюся, це зрозуміло. Будь ласка, дайте мені знати, якщо вам потрібно більш детальне пояснення.