Чи збільшуються асимптотично нерозрахункові функції?

Я читав про зайняті числа бобрів і про те, як вони зростають асимптотично більшими за будь-яку обчислювальну функцію. Чому це так? Це через некомплектність функції зайнятого бобра? Якщо так, то чи зростають усі не обчислювані функції асимптотично більше, ніж обчислювані?

Редагувати:

Чудові відповіді нижче, але я хотів би пояснити більш простою англійською мовою, що я їх розумію.

Якщо існувала обчислювальна функція f, яка зростала швидше, ніж функція зайнятого бобра, то це означає, що функція зайнятого бобра обмежена f. Іншими словами, машині Turing просто потрібно було б виконати f (n) багато кроків, щоб вирішити проблему зупинки. Оскільки ми знаємо, що проблема зупинки не вирішена, наша початкова припущення помилкова. Тому функція зайнятого бобра зростає швидше, ніж усі обчислювані функції.

Якщо ви берете будь-який не обчислюваний набір натуральних чисел, характеристична функція множини приймає лише значення і не обчислюється. Тож не так, що кожна безлікова функція зростає дуже швидко, їх можна навіть обмежити.$\{0,1\}$

Функція Busy Beaver зростає швидше, ніж кожна обчислювана функція, оскільки вона створена для цього. Доказ того, що він є незліченним, продовжується, спочатку довівши, що він росте швидше, ніж будь-яка обчислювана функція.

Більш загально, скажіть, що множина має "гіперімунний ступінь", якщо кожна функція, обчислювана з A , обмежена обчислювальною функцією. Безумовно, кожен обчислюваний набір має гіперімунний ступінь. Відомо, що також існує безліч не обчислюваних наборів, які мають гіперімунний ступінь. Тож не так, що все, що не можна обчислити, доведеться обчислити якусь швидко зростаючу функцію. $A \subseteq \mathbb{N}$$A$

Однак також буває так, що повторний набір, який не підлягає обчисленню, не матиме ступеня без гіперімунних. Якщо повторно і перераховується індексом e , функція f така, що f ( n ) = k, якщо e перераховує n в k кроків, а f ( n ) = 0, якщо e не перераховує n , обчислюється з B, але це функція обмежена обчислювальною функцією, якщо і лише тоді, коли B обчислюється.$B$$e$$f$$f(n) = k$$e$$n$$k$$f(n) = 0$$e$$n$$B$$B$

Якщо функція зростає швидше (або повільніше) , ніж будь-який функції в безлічі F функцій, тобто ті ∈ ш ( г ) (або про ( г ) ) для всіх функцій г ∈ F , то ясно , що F ∉ F . Це те, що використовується, щоб показати, що функція зайнятого бобра не піддається обчисленню. Іншим прикладом є доказ того, що функція - обчислювальна та загальна - Акерманна не є примітивною рекурсивною.$f$$F$$f \in \omega(g)$$o(g)$$g \in F$$f \notin F$

Реверс не обов'язково виконується. Функція проблеми зупинки приймає значення в так що це в O ( 1 ) ¹; Очевидно, що обчислювані функції ростуть як швидше, так і швидше.$\{0,1\}$$O(1)$

Звичайно, існують набори функцій, для яких час виконання роботи є і необхідним, і достатнім критерієм членства, а саме ті, які характеризуються часом виконання, наприклад

.$\qquad \displaystyle \mathrm{Poly} = \{f : \mathbb{N} \to \mathbb{N} \mid \exists k.\, f \in O(n^k)\}$

1. Це має лише обмежену кількість сенсу. Параметр функції HP - це кодування машини Тюрінга і натуральне число; її розмір не є мірою того, наскільки складним є рішення щодо зупинки.