Узагальнена проблема 3SUM (k-SUM)?

Проблема 3SUM намагається визначити 3 цілих числа з набору S розміром n таким, що a + b + c = 0 .$a,b,c$$S$$n$$a + b + c = 0$

Можна припустити, що немає кращого рішення, ніж квадратичний, тобто . Або кажучи інакше: o ( n log ( n ) + n 2 ) .$\mathcal{o}(n^2)$$\mathcal{o}(n \log(n) + n^2)$

Тому мені було цікаво, чи це стосуватиметься узагальненої задачі: Знайдіть цілі числа для i ∈ [ 1 .. k ] у безлічі S розміром n таким, що ∑ i ∈ [ 1 .. k ] a i = 0 .$a_i$$i \in [1..k]$$S$$n$$\sum_{i \in [1..k]} a_i = 0$

Я думаю, ви можете зробити це в для $\mathcal{o}(n \log(n) + n^{k-1})$ (тривіально узагальнити простийалгоритм k = 3 ).$k \geq 2$$k=3$
Але чи є кращі алгоритми для інших значень ?$k$

$k$ -SUM можна вирішити швидше наступним чином.

• Для парних $k$ : обчислити відсортований список $S$ усіх сум вхідних елементів $k/2$ . Перевірте, чи містить $S$ як деяке число $x$ і його заперечення $-x$ . Алгоритм працює в $O(n^{k/2}\log n)$ час.

• Для непарних $k$ : обчислити відсортований список $S$ всіх сум вхідних елементів $(k-1)/2$ . Для кожного вхідного елемента $a$ перевірте, чи містить $S$ і $x$ і $-a-x$ , для деякого числа $x$ . (Другий крок, по суті, є алгоритмом $O(n^2)$ -час для 3SUM.) Алгоритм працює в $O(n^{(k+1)/2})$ час.

Обидва алгоритми є оптимальними (за винятком, можливо, коефіцієнта журналу, коли $k$ парний і більший за $2$ ) для будь-якої постійної $k$ у певному слабкому, але природному обмеженні моделі обчислення лінійного дерева рішень. Докладніше див:

• Нір Ейлон та Бернар Шазель. Нижні межі для лінійних випробувань на виродження . JACM 2005.

• Джефф Еріксон. Нижні межі для лінійних задач на задоволення . CJTCS 1999.

-SUM вимагає часу n Ω ( d ), якщо k-SAT не може бути розв'язаний за 2 o ( n ) час для будь-якої постійної k. Це було показано в а$d$$n^{\Omega(d)}$$2^{o(n)}$ праці Михайла Патраску та Райана Вільямса (1).

Іншими словами, припускаючи експоненціальну гіпотезу часу , ваш алгоритм є оптимальним аж до постійного коефіцієнта в експоненті (поліноміальний коефіцієнт в )$n$

(1) Михай Патраску та Райан Вільямс. Про можливість швидших алгоритмів SAT. Зб. 21-й симпозіум ACM / SIAM з дискретних алгоритмів (SODA2010)

Ось кілька простих спостережень.

Для , ви можете це зробити за Θ ( n ) час, скануючи масив на нуль. Для k = 2 ви можете це зробити без хешування за Θ ( n log n ) час. Сортуйте масив та скануйте його. Для кожного елемента я виконую двійковий пошук - i . Це призводить до загальної складності Θ ( n log n ) . Для випадку k = n ви можете зробити це в Θ ( n $k=1$$\Theta(n)$$k=2$$\Theta(n \log n)$$i$$-i$$\Theta(n \log n)$$k=n$$\Theta(n)$ час, накопичуючи масив і перевіряючи результат.

Для отримання додаткових довідок див . Сторінку проекту «Відкриті проблеми» для 3SUM .

Дивіться http://arxiv.org/abs/1407.4640

Новий алгоритм вирішення проблеми rSUM Валерій Сопін

Анотація:

Представлений визначений алгоритм для розв’язування задачі rSUM для будь-якого природного r з субквадратичною оцінкою часової складності в деяких випадках. За обсягом використовуваної пам'яті отриманий алгоритм має також підквадратичний порядок. Ідея отриманого алгоритму базується не з урахуванням цілих чисел, а з послідовними бітами k∈N цих чисел у двійковій системі числення. Показано, що якщо сума цілих чисел дорівнює нулю, то сума чисел, представлена ​​будь-якими k послідовними бітами цих чисел, повинна бути достатньо «близькою» до нуля. Це дає можливість відкинути числа, які atiotiori, не встановлюють рішення.

Це щось нове у цьому випуску.