Проблеми, які, очевидно, вимагають квадратичного часу

Я шукаю приклади проблеми, яка має нижню межу ) для введення . $\Omega(|x|^2$ $x$

Проблема повинна мати такі властивості:

$\Omega(n^2)$ доказ виконання для будь-якого алгоритму - першочерговим завданням є якомога простіший аргумент нижньої межі.
$O(n^2)$ Алгоритм , якщо можливо, також простий.
Розмір (або менший). Очевидно, що будь-яка проблема, яка вимагає подовженого виводу, потрібна хоча б аналогічний час виконання, але це не те, що я шукаю. Зауважте, що будь-яка проблема рішення тут підходить. $O(n)$ $\Omega(n^2)$
(по можливості) "природна" проблема. Без формального визначення кращою є проблема, яку визнає будь-який випускник КС.

Нещодавно мене запитали про таку проблему, але не змогли придумати просту. Першою проблемою, яка прийшла в голову, була , яка сприймалася як проблема виконання . Це було недостатньо просто, і, крім того, нещодавно кон'юктура виявилася помилковою : o. $3SUM$ $\Omega(n^2)$

Переходячи до вкрай неприродної проблеми, я вважаю, що проблема, яка отримує як вхід детерміновану ТМ і вхід , і виводить положення головки стрічки після кроки, коли він працює на ймовірно, відповідає на питання. $\langle M \rangle,x$ $(|M|+|x|)^2$ $x$

Якщо вам абсолютно потрібно, давайте погодимось, що ми використовуємо односмугову модель TM, хоча я віддаю перевагу проблемам, час виконання яких не залежить від точної моделі (доки це розумне).

Отже, чи можемо ми знайти просту (довести) природну (загальновідому) проблему, час виконання якої - ? $\Theta(n^2)$

— РБ
джерело

Я думаю, що "З огляду на натуральні числа , , обчислити " кваліфікується. Також зверніть увагу на це питання .

x

$x$

y

$y$

x + y

$x+y$

— Рафаель

Єдиний спосіб, яким ми знаємо, як довести суперлінійні нижні межі на багатоступеневих машинах Тьюрінга - це шляхом діагоналізації. Для односмугових машин Тьюрінга ви можете отримати трохи краще, використовуючи схрещувальні послідовності, але не на якщо, можливо, ви не обмежите простір.

n^{2}

$n^2$

— Yuval Filmus

Дивіться тут ще одне пов'язане питання; Зміна вхідних даних здається хорошим кандидатом.

— Рафаель

Я не думаю, що ви можете це зробити з проблемою рішення, тому що найкраща знайдена нижня межа для NP - це O (n).

— Альберт Гендрікс

Дякуємо за Ваш коментар @AlbertHendriks. Чи можете ви поділитися посиланням на джерело / опитування, стверджуючи, що найвідомішою нижньою межею для будь-якої проблеми в НП є ?

Ω (n)

$\Omega(n)$

— RB

Відповіді:

Пошук різання торта без заздрості вимагає запитів. Однак це не відповідає безпосередньо на ваше запитання, оскільки обчислювальна модель відрізняється від машини Тьюрінга. $\Omega(n^2)$

До речі, на даний момент найшвидший відомий алгоритм цієї проблеми вимагає запитів, тому з нижньої межі існує величезна прогалина - ймовірно, один із найбільші прогалини в інформатиці. $n^{n^{n^{n^{n^{n}}}}}$

— Ерел Сегал-Халеві
джерело

Як і у посиланні, поданому Рафаелем, Пітер показує, що для введення зворотного введення потрібен час на ванільних односмугових ТМ. Для вирішення проблеми мові також доведено, що для обчислення потрібен час . Щоб переконатися в цьому, використовуйте складність зв'язку аргумент Петра, поряд з класичним результатом , що потребує біт даних , щоб показати квадратичную нижню межу . Подібний підхід працює для більш природного . $\Theta(n^2)$

L = {x 0^{| x |} x ∣ x \in {0, 1}^{*}}

$L = \{x0^{|x|}x \mid x \in \{0,1\}^\ast \}$

Θ (n^{2})

$\Theta(n^2)$

E Q_{n}

$EQ_n$

Θ (n)

$\Theta(n)$

L

$L$

L = {x x ∣ x \in {0, 1}^{*}}

$L = \{xx \mid x \in \{0,1\}^\ast \}$

До речі, варто згадати, що «метод послідовності схрещування», згаданий Ювалом, є (наскільки мені відомо) математично еквівалентним (або, може бути, меншим) за рівнем складності зв'язку.

Для іншого кандидата , який безпосередньо не відповісти на ваше запитання, Райан Вільямс довів , що не може бути вирішене в час і одночасно місця в оперативній пам'яті. Незважаючи на те, що константа здається досить магічною, початкова ідея, що виходить від Fortnow, геніальна, але не настільки задіяна. Сторінку 101 підручника Барака та Арори див. Для викладу ідеї. $\mathsf{SAT}$ $O(n^{2 \cos(\pi/7)})$ $n^{o(1)}$ $2 \cos(\pi/7) \approx 1.8$

— Lwins
джерело