Комерційна претензія на піцу на 34 мільйони комбінацій

Комерційний виробник піци стверджує, що ви можете комбінувати їх інгредієнти до 34 мільйонів різних комбінацій. Я не повірив, тому відмовився від моїх іржавих навичок комбінаторики і спробував це зрозуміти. Ось що я маю досі: З веб-сайту замовлення я отримав вибір

кірка (4 види, виберіть 1)
розмір (4 типи, виберіть 1) деякі кірки обмежені певним розміром - не враховуючи цього, але хотіли б.
сир (5 видів, вибираємо 1)
соус (4 види, виберіть 1)
рівень соусу (3 види, виберіть 1)
м'ясо (9 видів, вибирайте до 9)
нежирне м'ясо (15 видів, вибір до 15)

Тож я подумав, що це комбінована проблема (порядок не важливий), а не проблема k k вибрати, нульова дозволена будь-що, окрім скоринки та скоринки, розміру, сиру, соусу та соусу. М'ясо та нежирне м'ясо $2^?$ ? Так це було б:

кора $\binom{4}{1}=4$
розмір $\binom{4}{1}=4$
сир $\binom{5}{1}=5$
соус $\binom{4}{1}=4$
рівень соусу $\binom{3}{1}=3$
м'ясо $2^9 = 512$
не-м'ясо $2^{15} = 32768$

На даний момент я застряг, як їх поєднати, щоб отримати загальну кількість можливих комбінацій?

Я вважаю цей сайт корисним.

ETA: Якщо я не враховую обмеження щодо розміру кори - деякі кори доступні лише в певних розмірах - їх понад 16 мільярдів; Доступно 16106,127,360 комбінацій, тож їх було зовсім небагато.

combinatorics discrete-mathematics

— гебух
джерело

Лише один сир? Це причина замовити в іншому місці.

— Рафаель

Можливо, вони краще роблять піцу, ніж математику.

— Дейв Кларк

Вони дійсно, дійсно досягли своєї мети залучити вас своєю рекламою. Кого хвилює, якщо кількість комбінацій неправильне?

— gnasher729

Можливо, ніхто, але це була цікава загадка, яка використовувала деякі математичні навички, якими я не користувався досить довго.

— gebuh

Гаразд, трохи детальніша відповідь, ніж у коментарях.

Вибір з робиться . Тому для таких речей, як розмір піци, де у вас є 4 варіанти (і вам потрібно вибрати один, піца coz не може бути одночасно середньою і великою), у вас є лише варіанти. Дійсно, . $k$ $n$ ${n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ $4$ ${4 \choose 1}=\frac{4!}{3!}=4$

Цікава частина - такі речі, як нежирні варіанти. У вас є 15 і можете вибрати будь-який набір до 15. Математично це означає . ${15 \choose 0} + {15 \choose 1} + \cdots + {15\choose 15}$

Як ви вже згадували, є приємна формула таких сум: таким чином, для нежирних варіантів у вас є варіантів , як ти сказав. (див. тут більше формул).

\sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) = 2^{i}

$\sum_{i=0}^n {n \choose i} = 2^i$

2^{15} = 32768

$2^{15}=32768$

Нарешті, щоб поєднати всі варіанти, ви просто їх множите. Якщо у вас є 4 можливі розміри і, скажімо, 4 можливі кірки, то у вас в цілому різних комбінацій. $4\times 4=16$

Отже, помноживши все, ви отримаєте 16.106.127.360, що більше 34 мільйонів.

— Ран Г.
джерело