Два визначення збалансованих двійкових дерев

Я бачив два визначення збалансованих двійкових дерев, які мені виглядають по-різному.

1. Двійкове дерево збалансоване, якщо для кожного вузла встановлено, що кількість внутрішніх вузлів у лівому піддереві та кількість внутрішніх вузлів у правому піддереві відрізняються щонайменше на 1.

2. Двійкове дерево збалансовано, якщо для будь-яких двох листків різниця глибини становить не більше 1.

Чи кожне дерево, що задовольняє def. 1 також задовольняє деф. 2? А як щодо навпаки?

Визначення 1. також відоме як врівноваженість ваги ¹, а визначення 2. як збалансованість по висоті .

Врівноваженість по висоті не передбачає збалансованості ваги; прикладами є як AVL-, так і червоношкірі дерева. Дивіться тут і тут для доказів відповідно.

Хоча врівноваженість у вазі означає збалансованість по висоті. Це можна довести, показавши наступний більш сильний факт за допомогою індукції (над висотою): дерево з збалансованою вагою є повним на всіх рівнях, але найглибшим². Основним аргументом індуктивного кроку є те, що у підрядок не може бути різниці висот більше одиниці, оскільки - обидва, що мають заявлену властивість за індукційною гіпотезою, - вони б тоді не були збалансовані за вагою.

1. У статті дається інше, більш загальне визначення.
2. Іншими словами, таке дерево висотою без листя на рівні k є ідеальним деревом висоти k - 1 .$k$$k$$k-1$