Чи реально довести нижчі межі?

З огляду на будь-яку обчислювальну проблему, чи реально можливе завдання знайти нижню межу для таких обчислень? Я вважаю, що це зводиться до того, як визначено один обчислювальний крок та яку модель ми використовуємо для доказування, але враховуючи це, чи дійсно ми доводимо нижню межу, ніж загалом? Що я маю на увазі, що ми можемо довести щось на кшталт "проблему $X$ не можна вирішити швидше, ніж час", а не "проблему можна вирішити за час або швидше"?$t(X)$$X$$t(X)$

Я намагався знайти інформацію конкретно про нижню межу та докази їх, але насправді не можу знайти жодної цікавої інформації, будь-яких рекомендацій щодо книг / паперів / веб-сайтів з цього питання?

Ми можемо абсолютно довести такі речі.

Багато проблем мають тривіальні нижні межі, такі як пошук мінімуму з набору чисел (які не відсортовані / структуровані жодним чином) займає щонайменше Ω ( n ) час. Доказ цього простий: гіпотетичний алгоритм, який працює в o ( n ) час, не може вивчити всі числа вхідних даних. Отже, якщо ми запустили алгоритм на якомусь вході, ми могли б помітити, що він ніколи не досліджував конкретний елемент вводу. Змінивши цей елемент до мінімуму, ми можемо домогтися відмови алгоритму.$n$$\Omega(n)$$o(n)$

Менш тривіальною нижньою межею є нижня межа для сортування в моделі порівняння. Доказом цього є наступні рядки: якщо ввести n чисел, є n ! можливі виходи (вхід може бути будь-якою перестановкою відсортованого списку, тому вихід може бути також будь-якою перестановкою введення). Якщо ми обмежуємось лише порівняннями, то для нашого алгоритму (в середньому) потрібно виконати принаймні порівняння log 2 ( n ! ) = Ω ( n log n ) , щоб можна було дати $\Omega(n \log n)$$n$$n!$$\log_2(n!)=\Omega(n \log n)$різні виходи.$n!$

Нижні межі можуть бути ще сильнішими. Існує кілька проблем (зокрема, проблеми ), для яких існує експоненціальна нижня межа. Проблеми цього класу включають обчислення оптимальних стратегій для таких ігор, як (узагальнені) шахи, шашки та ходити. Підтвердженням цього є теорема часової ієрархії , яка стверджує (з урахуванням деяких обмежень на f ):$EXPTIME$$f$

Враховуючи функцію , існує обчислювальна задача, яка може бути вирішена за час O ( f ( n ) ), але не може бути вирішена за час o ( f ( n $f$$O(f(n))$.$o(\frac{f(n)}{\log n})$

Отже, якщо ви можете придумати функцію , існує проблема, для вирішення якої потрібно стільки часу.$f$

Нарешті, ще одна дорога не обов'язково доказування нижньої межі часу, але щось ще сильніше, показує нерозбірливість проблеми (наприклад, зупинка, кореспонденція).

$\Omega(n\log n)$$n$

$O(n\log n)$

З іншого боку, у Райана Вільямса є приємна стаття (і розмова, яку я чув кілька разів) під назвою Алгоритми для схем і Схеми для Алгоритмів , в якій він стверджує, що пошук нижніх меж і пошук алгоритмів принципово не всі що різні. Наприклад, він наводить доказ нерозбірливості проблеми зупинки як приклад алгоритму (універсальної машини Тьюрінга), який використовується саме для доведення нижньої межі (нерозбірливості).

$n$

Однак у питанні є пункт, який вимагає ще декількох зауважень щодо нижньої межі (або меж складності загалом).

Насправді вибір того, що є одним обчислювальним кроком, не має значення, доки обчислювальні кроки можна вважати такими, що мають постійну верхню межу (і нижню межу). Результат складності буде однаковим, оскільки він визначається до постійної. Прийняття 3 порівнянь як одиничних операцій, або лише однієї, не має значення.

Те саме стосується розміру даних, який служить орієнтиром для оцінки вартості обчислення. Взяття одного цілого чи двох цілих чисел як одиниці розміру не має значення.

Однак обидва варіанти мають бути пов'язаними.

$n$$\log n$$O(\log n)$

Чи може вважатись операція такою, що має одиничну вартість, тісно пов'язана з тим, які дані можуть вважатися розмірами одиниці. І це залежить від того, який рівень абстракції ви обираєте для своєї моделі обчислення.