Найважчий плоский підграф

Розглянемо наступну проблему.

Дано: Повний графік з реальними негативними вагами на краях.

Завдання: Знайти плоский підграф максимальної ваги. ("Максимум" серед усіх можливих плоских підграфів.)

Примітка: підграф з максимальною вагою буде триангуляцією; якщо повний графік знаходиться на вершинах, він буде мати ребер.$n$$m=3n-6$

Питання: Який найкращий доступний алгоритм для цієї проблеми? Яка його часова складність?

Це навіть важко для зважених повних графіків. Для простого алгоритму можна обчислити дерево з максимальною вагою, що охоплює: відмінити ваги краю та запустити алгоритм Крускала. Це дає вам коефіцієнт продуктивності 1/3 (у розкинутого дерева є краї, і, як ви зазначаєте, максимальний плоский підграф може містити не більше ребер). Наскільки я знаю, алгоритм у [1], який має коефіцієнт продуктивності принаймні 25/72 і щонайменше 5/12, не був значно покращений (але дивіться, на які новіші статті посилаються на це).$n-1$$3n-6$

Для повних графіків, вагові значення яких підпорядковуються нерівності трикутника, коефіцієнт продуктивності алгоритму в [1] становить щонайменше 3/8. Я думаю, що алгоритм є досить задіяним і його можна змусити запускати в час на загальних графіках. Існують деякі простіші варіанти, які автори представляють, а також з різними показниками ефективності та, можливо, кращими тривалістю виконання.$O(m^{3/2}n \log^6 n)$

[1] Calinescu, G., Fernandes, CG, Karloff, H., & Zelikovsky, A. (2003). Новий алгоритм наближення для пошуку важких плоских підграфів. Algorithmica, 36 (2), 179-205.