Чи існує точка зору на складність теореми Галуа?

Теорема Галуа фактично говорить про те, що не можна виразити коріння многочлена градуса> = 5, використовуючи раціональні функції коефіцієнтів і радикалів - чи не можна це прочитати, якщо говорити, що для даного многочлена не існує детермінованого алгоритму, щоб знайти коріння?
Тепер розглянемо питання вирішення форми: "З огляду на справжній вкорінений многочлен $p$ і число k є третім і четвертим найвищим коренем $p$ принаймні на проміжку k?"

Сертифікатом підтвердження цього питання буде просто набір коренів цього многочлена, і це короткий сертифікат, і тому він виглядає як $NP$ але не теорема Галуа, яка говорить, що не існує жодного детермінованого алгоритму, щоб знайти сертифікат для цього питання рішення? (і ця властивість, якщо правда виключає будь-який алгоритм для вирішення відповіді на це питання)

Тож у якому класі складності лежить це питання рішення?

У всіх повних NP-питаннях, які я бачив, завжди є доступний тривіальний експоненціальний алгоритм часу для їх вирішення. Я не знаю, чи очікується це властивість, яка завжди повинна відповідати всім питанням, повним NP. Для цього рішення рішення це не здається правдою.

complexity-theory np-complete np polynomials

— user6818
джерело

Коріння сертифікат , але це не для мене очевидно , що вони в короткий сертифікат (тобто, що існує константа

така , що для будь-якого многочлена, ви можете написати своє коріння в

бітів, де

є кількість бітів, необхідних для запису многочлена). Але якщо є алгоритм NP, є тривіальний алгоритм експоненціального часу: просто перерахуйте всі потенційні сертифікати і подивіться, чи працює який-небудь з них.

k

$k$

O (n^{k})

$O(n^k)$

n

$n$

— Девід Річербі

Кілька коментарів: (1) Коріння

мають абсолютні значення максимум

. (2) Штурмові послідовності можуть бути використані для виділення коренів многочлена. (3) Ми можемо перевірити, чи є два корені на відстані точно

, і якщо так, то, обчисливши GCD

\sum_{i = 0}^{n} a_{i} x_{i}

$\sum_{i=0}^n a_i x_i$

max (1, \sum_{i = 0}^{n - 1} | a_{i} | / | a_{n} |)

$\max(1,\sum_{i=0}^{n-1} |a_i|/|a_n|)$

k

$k$

p (x)

$p(x)$

p (x + k)

$p(x+k)$

— Yuval Filmus

@YuvalFilmus Чи може бути використана будь-яка з ваших вище ідей для вирішення вищезазначеного питання? Це не очевидно, якщо їх можна використовувати для вирішення цього питання - у поліном час?

— user6818

"Теорема Галуа фактично говорить про те, що не можна висловити коріння многочлена градуса> = 5, використовуючи раціональні функції коефіцієнтів і радикалів - чи не можна це прочитати, якщо говорити, що для даного многочлена немає детермінованого алгоритму, щоб знайти коріння? " Ні, оскільки поліноміальні алгоритми часу є більш потужними, ніж раціональні функції. Наприклад, вони можуть розділяти

— регістри

@ user6818 Теорема стосується конкретної обчислювальної моделі - раціональних функцій радикалів. Якщо ви зміните модель, вона більше не застосовується. Наприклад, згідно з mathworld.wolfram.com/QuinticEquation.html MathWorld можна вирішити рівняння 5-го ступеня за допомогою тета-функцій Якобі. Якщо ви добре з алгоритмом, який повертає корінь протягом 0,01 (або будь-якого заданого

), теорема Галуа більше не дискваліфікує метод, оскільки будь-яке число може бути апроксимоване раціональним.

ϵ > 0

$\epsilon > 0$

— sdcvvc

Відповіді:

Цікавий зв’язок, проте теорія Галуа стверджує, що не існує жодного (послідовного) методу для знаходження коренів квінтику за допомогою радикалів , замість того, щоб сказати, що проблема має рішення (наприклад, найдовший шлях), який може вимагати надполіномального часу. Тож я б сказав, що це скоріше пов'язане з невизначеністю, а не складністю.

Конкретно, в теорії Галуа поступово будується групове розширення коренів рівняння поетапно (додаючи один корінь за один раз). І всі ці групи повинні бути розв’язуваними, в певному сенсі не повинно бути ніякої неоднозначності в процесі побудови цих розширень в іншому порядку. Існує споріднене питання щодо МО щодо складності побудови групи Галуа рівняння .

Ще одне посилання тут "ТЕОРІЯ КОМП'ЮТАРНОГО ГАЛОЙСУ : ІНВАРІАНТИ ТА КОМП'ЮТЕРАЦІЇ ЗА ", КЛАУС ФІКЕР ЖУРГЕН КЛУНЕРС $\mathbb{Q}$

Крім того, можна систематично представляти коріння поліноміальної еукації з використанням радикалів (коли рівняння розв’язується за допомогою радикалів) на основі побудови групи (ів) Галуа рівняння. Код: "Радикальне представлення полінових коренів", Хіроказу Анай Казухіро Йокояма 2002

Обчислювальна складність визначення того, чи заданий монічний невідводимий многочлен над цілими числами , розчинний радикалами, знаходиться в $\mathbb{Z}$ Ref"Розв'язність радикалами знаходиться в поліномійному часі", С. Ландау Г. Л. Міллер 1984 $\mathbb{P}$

Опитування останніх "Методів обчислення груп Галуа", Олександр Халпке

Звичайно, якщо шукати хороші алгоритми наближення та їх складність (наприклад, метод Ньютона чи теорему Штурма), це дещо інше питання, і вже опублікований відповідь забезпечує більше інформації в цьому напрямку.

— Нікос М.
джерело

Спасибі! Здається, я випадково задав собі дуже хвилююче питання!

— користувач6818,

@ user6818, дякую оновлену відповідь з додатковою інформацією та подальшими посиланнями

— Нікос М.

Я припускаю, що ви розглядаєте поліноми з цілими коефіцієнтами.

Ви взяли неправильну вихідну точку для своїх розслідувань; ваша мета - знайти хороші оцінки реальних коренів. Шукати алгебраїчну формулу, щоб ви могли її оцінити з достатньою точністю - це щось, що ви можете зробити, але це насправді не правильно. (якщо, звичайно, " kнайкрупніший справжній корінь полінома" є однією з ваших алгебраїчних операцій)

Набагато кращою відправною точкою є використання теореми Штурма для виділення коренів многочлена. Потім ви можете робити кращі оцінки за допомогою двійкового пошуку, але якщо це занадто повільно, ви можете використовувати метод Ньютона для швидкого отримання оцінок високої точності.

Але це лише про те знайти сертифікати. Досі залишається питання про те, які сертифікати можуть існувати.

По-перше, я зазначу, що ви можете безпосередньо обчислити, чи два корені є рівно одиницями, наприклад, . Вам також доведеться вирішити, що ви хочете зробити щодо повторних коренів, і мати справу з відповідним чином. Я припускаю, що ви будете розбиратися з цією справою спеціально. $k$ $\gcd(p(x), p(x-k))$

Якщо ми знаємо, що два корені не є рівно одиницями, це означає, що ви можете дати оцінку достатньої точності, щоб довести, що вони або більше, або менше одиниць. наприклад, є два типи сертифікатів: $k$ $k$

Перший вид (доказ у негативі) - це

- не корінь $a$ $p$
не має коренів у $p$ $(a-k, a)$
має три корені в $p$ $(a, \infty)$

Другий вид (доказ у позитиві) - це

- не корінь $a$ $p$
має щонайменше два корені в $p$ $(a-k,a)$
має два корені в $p$ $(a, \infty)$

Сертифікат можна перевірити, використовуючи теорему Штурма. Тепер, ваше запитання про розмір сертифіката зводиться до знаходження , скільки бітів точності потрібно представляти . $a$

Іншими словами, які межі на можливі значення , де $a-b-k$ $a,b$ - корені ? $f$

Я не впевнений у чудовому підході, але той, який повинен вам щось дати, - це спостерігати, що всі ці значення є корінням многочлена:

g (x) = {Res}_{y} (f (y), f (x + y + k))

$g(x) = \mathop{\text{Res}_y}(f(y), f(x + y + k))$

Чому? Нагадаємо, що результат двох монічних многочленів є добутком усіх відмінностей їх коренів, так

g (x) = c^{d^{2}} \prod_{a, b} (b - (a - x - k)) = \prod_{a, b} (x - (a - b - k))

$g(x) = c^{d^2} \prod_{a,b}(b - (a - x - k)) = \prod_{a,b} (x - (a-b-k))$

де - провідний коефіцієнт, а - ступінь . (можливо, я написав формулу для замість ; я ніколи не впевнений у знаку) $c$ $d$ $f$ $-g(x)$ $g(x)$

Отже, питання полягає в тому, щоб знайти оцінку, наскільки великі можуть бути коефіцієнти , а потім, коли ви це знаєте, знайдіть оцінки, наскільки близький корінь $g$ $g$ може бути нуль.

(або, як альтернатива, знайти найбільшу величину, яку може мати корінь зворотного многочлена ; коріння зворотного многочлена є зворотами коренів ) $g$ $g$

Чи є тут питання щодо представлення даних? NP принципово стосується машин Тьюрінга, і не одразу очевидно, що це стосується реальних чисел чи кількості бітів, необхідних для запису раціональних даних достатньої точності. (Вибачте, що не дуже конструктивний. Я знаю достатньо, щоб знати, що це може бути проблемою, але недостатньо, щоб знати, чи справді це проблема, або, якщо це так, як її переосмислити.)

— Девід Річербі,

@DavidRicherby: Я припускаю , що входи в переважно тільки коефіцієнти полінома написаному в довічним, і моє очікування, що число бітів , ви повинні представляти у двійковій системі буде обмежено полиномиальной функцією від числа бітів вхід. Якщо ми будемо використовувати два параметри, кількість бітів введення та ступінь многочлена, то я майже впевнений, що кількість бітів, необхідних

буде багаточленним у кількості бітів введення, але я менше точно впевнено, як це буде залежати від ступеня.

a

$a$

a

$a$

Введення як перелік коефіцієнтів має ідеальний сенс. Але ваші припущення щодо точності, необхідної для представлення коренів, безумовно, повинні бути перевірені. Наприклад, причина того, що десята задача Гільберта (розв’язання рівнянь Діофантіна) є нерозв'язною, полягає в тому, що ви не можете обмежувати довжину рішення з точки зору довжини введення. Це прямо не застосовується тут, оскільки у нас є лише одна змінна, і ми не шукаємо цілих рішень, але це задає досить велике запитання щодо припущення про обмеженість.

— Девід Річербі

@David: теорія реальних закритих полів кардинально відрізняється від теорії чисел; інтуїція про одне насправді не перекладається добре на іншу.

k + 2^{- 2^{2^{n}}}

$k+2^{-2^{2^n}}$

k - 2^{- 2^{2^{n}}}

$k-2^{-2^{2^n}}$

я прийму ваші запитання як переважно відкриті. доказовий доказ, відомий зараз як твір Авеля-Руффіні, показує неможливість поліноміальних розв’язків квінтику. (на відміну, наприклад, від квадратичного рівняння). тому це насправді не є наслідком жорсткості проблеми як такої, а скоріше неможливості . в цьому сенсі це більш аналогічно, наприклад, доказу нерозбірливості проблеми зупинки. Теорія складності взагалі стосується "вартості" обчислювальних рішень. це точка зору двох провідних дослідників CS у вступному розділі цього наступного документу ( Обчислюваність та складність») / Клейнберг і Пападімітріу), 1 Квест «Квінтичної формули»:

Розглянута з безпечної відстані в кілька століть, історія очевидно про обчислення, і вона містить багато ключових інгредієнтів, які виникають у подальших зусиллях для моделювання обчислень: ми беремо обчислювальний процес, який ми розуміємо інтуїтивно (вирішуючи рівняння , в даному випадку), сформулюйте точну модель і з цієї моделі отримайте деякі дуже несподівані наслідки щодо обчислювальної потужності процесу. Саме такий підхід ми хочемо застосувати до обчислень загалом.

в інших місцях розтяжне / загальна аналогія може бути , що в P $\neq$ Доказ NP (або розділення іншого класу складності) є аналогом результату обчислювальної неможливості, дещо схожий на тм Абеля-Руффіні. Результат поділу приблизно говорить про те, що проблеми певного типу не можуть бути вирішені "обчислювальними ресурсами" іншого певного типу. a P $\neq$ Теорема НП розглядалася б як (монументальна) обчислювальна неможливість.

— взн
джерело

Я не впевнений, що проблема зупинки - це хороша аналогія, оскільки це більше за принципом "ти не можеш обчислити відповідь", а не "взагалі немає відповіді".

Чи не є теорема Галуа обчислювальною неможливістю так само, як проблема Холтінга?

— користувач6818