Чи є якесь конкретне співвідношення між теоремою про незавершеність Геделя, проблемою зупинки та універсальними машинами Тьюрінга?

75

Я завжди туманно думав, що відповідь на вищезазначене питання була ствердною у наступних рядках. Теорема про незавершеність Геделя та нерозбірливість проблеми зупинки є негативними результатами розв'язуваності та встановленими діагональними аргументами (і в 1930-х рр.), Тому вони повинні якось бути двома способами розгляду однакових питань. І я подумав, що Тьюрінг використовував універсальну машину Тюрінга, щоб показати, що проблема зупинки нерозв'язна. (Дивіться також це питання математики .SE .)

Але тепер, коли (викладаючи курс з обчислюваності) я придивляюсь до цих питань, я досить збентежений тим, що знаходжу. Тож я хотів би допомогти у випрямленні своїх думок. Я усвідомлюю, що, з одного боку, діагональний аргумент Ґеделя дуже тонкий: для того, щоб побудувати арифметичне твердження, яке може бути витлумачено як щось про власну похідність, потрібно багато працювати. З іншого боку, доказ нерозбірливості проблеми зупинки, яку я знайшов тут , надзвичайно простий, і навіть прямо не згадує машини Тьюрінга, не кажучи вже про існування універсальних машин Тьюрінга.

Практичне питання щодо універсальних машин Тьюрінга полягає в тому, чи має будь-яке значення алфавіт універсальної машини Тьюрінга таким же, як алгоритм машин Тьюрінга, який він імітує. Я подумав, що це буде необхідно для того, щоб придумати правильний діагональний аргумент (з можливістю моделювання машини), але я не знайшов уваги до цього питання в дивовижній колекції описів універсальних машин, які я знайшов у мережі. Якщо не проблема зупинки, чи корисні універсальні машини Тьюрінга в будь-якому діагональному аргументі?

Нарешті мене бентежить цей подальший розділтієї ж статті WP, в якій сказано, що слабша форма незавершеності Геделя випливає із проблеми зупинки: "повна, послідовна та обгрунтована аксіоматизація всіх тверджень про натуральні числа недосяжна", де "звук" повинен бути послабленим. Я знаю, що теорія є послідовною, якщо не можна вивести протиріччя, і повна теорія про натуральні числа може означати, що в ній можна вивести всі справжні твердження про натуральні числа; Я знаю, що Ґедел каже, що такої теорії не існує, але я не бачу, як такий гіпотетичний звір може бути незвучним, тобто також виводити твердження, хибні для натуральних чисел: заперечення такого твердження було б істинним і, отже, за повнотою також можна отримати похідність, яка б суперечила послідовності.

Буду вдячний за будь-яке роз’яснення по одному з цих питань.

— Марк ван Левен
джерело

У вас є одна концептуальна проблема: алгоритмічна рішучість (проблема зупинки) та відповідність похідності. доцільність (логіка) - це два дуже різні поняття; ви, здається, використовуєте "рішучість" для обох.

— Рафаель

1

@ Рафаель: Я дуже добре усвідомлюю, що існує велика концептуальна різниця між твердженнями теореми про незавершеність і нерозбірливістю проблеми зупинки. Однак негативна форма незавершеності: достатньо потужна формальна система не може бути одночасно послідовною і повною, але перетворюється на твердження про невідмінність: оскільки множина теорем, що виводиться у формальній системі, є напіврозв'язною за побудовою, повнота зробила б набір не -теореми також напіврозбірливі (як заперечення теорем, припускаючи послідовність, інакше як порожній набір), отже, вирішувані.

— Марк ван Левен

так, насправді ці два докази є надзвичайно схожими, і насправді один із способів поглянути на це - це те, що Годель створив у арифметиці свого роду логіку цірінга. Є багато книг, які вказують на цю концептуальну еквівалентність. наприклад, Годель Ешер Бах від hofstadter або Імператори Новий Розум від penrose ....

— vzn

Дещо пов’язане ... Я завжди неправильно пам’ятаю парабела Хофштадтера, де Черепаха продовжує ламати рекордер Ахілла, як заяву про проблему зупинки. Насправді я знайшов цю тему, переглянувши свою плутанину. Я все ще відчуваю, що парабел перекладається більш природно і безпосередньо до проблеми зупинки, але це не має глибокого розуміння жодної теореми.

— мікан

32

Я рекомендую вам перевірити публікацію в блозі Скотта Ааронсона про підтвердження теореми некомплектності через машини Тьюрінга та теорему Россера. Його доказ теореми про незавершеність надзвичайно простий і простий у дотриманні.

— Маркос Вільягра
джерело

Дякую за це посилання, я зараз погоджуся, оскільки це найбільше стосується моїх проблем. Спочатку я був дуже занепокоєний: я неправильно зрозумів "завершений", щоб означати, "кожна правда є похідною" (зворотне звучання), а не "якщо не є похідним, то є" (зворотне до послідовного). Скотт Ааронсон, здається, вважає, що значення "завершеного" очевидно для аудиторії, хоча він, здається, не припускає аудиторію логіки (що я, звичайно, не є); з моїм нерозумінням того, що він пише, немає сенсу. Знайшовши свою помилку, я вважаю публікацію досить цікавою.

P

$P$

\neg P

$\lnot P$

— Марк ван Левенен

1

Існує ще одне підтвердження подібного змісту в книзі «Природа обчислень» ( amazon.com/gp/cdp/member-reviews/A2DGFHJVZ92HVI/… ) у главі про обчислюваність. Там автори уникають використання теореми Россера і лише припускають існування універсальних машин (тобто, теза Церкви Тьюрінга). Точна довідка - розділ 7.2.5, сторінка 238.

— Маркос Віллагра

21

Відповідь Ніла Крішнасвамі на проблему зупинки, непереборні множини: загальний математичний доказ? на CSTheory вказує на посилання, що з'єднують вищезазначені результати під парасолькою теорії категорій.

— Суреш
джерело

1

ця стаття не згадується у відповіді на цетеорії (але є у коментарях до відповіді блогу Андрія Бауера ), але, ймовірно, також є хорошим оглядом.

— Артем Казнатчеєв

Це зв'язок, заснований на подібності доказів, а не на наслідках між результатами, чи не так?

— Рафаель

1

Ну, думка в статті, на яку посилається Артем, полягає в тому, що це все прояви єдиної теоретично-категоріального факту.

— Суреш

16

(Це, мабуть, є коментарем до відповіді Суреша, але просто там занадто довго вміщуватися. Тому я заздалегідь вибачаюся, що він насправді не відповідає на питання Марка.)

Я знаходжу відповідь Ніла Проблема зупинки, непереборні множини: загальний математичний доказ? в CSTheory та блозі Андрія Бауера незадовільно з двох причин.

По-перше, для пояснення зв'язку зазвичай нам не потрібен весь теоретичний жаргон категорій. Існування нерозбірливої мови має на увазі теорему Кантора , яка має дуже елементарний діагональний доказ. Причина полягає в тому, що набір програм незліченний . З іншого боку, оскільки кожна мова може розглядатися як підмножина , і, таким чином, набір усіх мов є нескінченним . Згідно з теоремою Кантора, від на немає витіснення, і, таким чином, ми знаємо, що повинна існувати мова, яку не можна визначити. $\mathbb{N}$ $\mathbb{N}$ $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ $\mathbb{N}$ $\mathcal{P}(\mathbb{N})$

По-друге, вищенаведений доказ є незадовільним, оскільки ми також хочемо "бачити" приклад розумної нерозбірливої мови. Вищенаведений доказ можна розглядати як підрахунковий аргумент і, таким чином, не є "конструктивним" у цьому сенсі. Тьюрінг виявив проблему зупинки як такий приклад.

— Дай
джерело

+1 Це більш простий підхід, але я все ще сумніваюся з цього приводу: "і таким чином ми знаємо, що повинна існувати мова, яку не можна визначити". Чи можете ви вказати різницю між невідкладною мовою та невирішеною проблемою?

— Hernan_eche

1

@Hernan_e Насправді немає "різниці". Проблема рішення в теорії обчислень може бути визначена як будь-яке питання "так-чи-ні" на множині входів . Таким чином, ми можемо призначити кожну задачу для вирішення набору з входів, на які відповідь - так. Безліч є мовою визначається проблема .

x \in Σ^{*}

$x\in \Sigma^*$

P

$P$

L \subseteq Σ^{*}

$L\subseteq \Sigma^*$

L

$L$

P

$P$

— Дай

Зрозуміли, ви дуже зрозумілі, я погоджуюся, що аргумент підрахунку не є цілком задовільним, але навіть без прикладу, я думаю, що, найгірше, те, що є нескінченним, тож немає великого сюрпризу, коли говорити там є невідповідними мовами, було б чудово розширити (краще сказати, щоб обмежити ) міркування про кінцевий випадок, (я не прошу прикладу невирішеної проблеми), але подібний доказ (або спростування) є дійсним для скінченного набору введення оголошено замість

L \subseteq Σ^{*}

$L\subseteq \Sigma^*$

N

$\mathbb{N}$

— Hernan_eche

Але діагональний аргумент справді є конструктивним доказом. Поряд із скороченням до теореми Кантора, невідмінна мова - це сукупність усіх машин, кодування яких не є прийнятою мовою.

— Віллард Жан

6

Універсальні машини Тьюрінга корисні для деяких діагональних аргументів, наприклад, при поділі деяких класів в ієрархіях складності часу або простору : універсальна машина використовується для доказу наявності проблеми але не в . (Кращі межі можна знайти у статті WP) $\mbox{DTIME}(f(n)^3)$ $\mbox{DTIME}(f(n/2))$

Однак, якщо бути абсолютно чесним, якщо уважно придивитись, універсальна машина не використовується у «негативній» частині: доказ припускає, що існує машина яка вирішила б обмежену в часі версію проблеми зупинки, а потім приступає до створення . (Універсальної машини тут немає) Універсальна машина використовується для вирішення обмеженої за часом версії проблеми зупинки за більший проміжок часу. $K$ $¬KK$

— jmad
джерело

Для досить неконстантного f (n).

— Йонатан N

0

"Якщо не проблема зупинки, чи корисні універсальні машини Тьюрінга в будь-якому діагональному аргументі?"

Теорема Райса - це по суті узагальнення діагоналізації проти машин Тьюрінга. Звідси видно, що щодо машин Тьюрінга абсолютно немає властивостей, які ви можете вирішити для всіх машин Тьюрінга за допомогою одного алгоритму, якщо ця властивість не стосується всіх машин Тьюрінга або немає машин Тьюрінга. Зверніть увагу на те, що власність для всіх машин Тьюрінга чи ні машин Тюрінга не дозволяє об'єкту діагоналізації бути машиною Тюрінга, тому воно не може бути в списку, в першу чергу, суперечити рішенню щодо власності. Адже це єдинеТе, що заважає об'єкту діагоналізації бути в списку і суперечить рішенню про властивість, яке є всіма властивостями машин Тьюрінга, не можна визначити. Ця закономірність об'єкта діагоналізації, яка повинна бути членом списку речей, про які ви намагаєтесь прийняти рішення, і все ж таки немете рішення, є критичною абстракцією, яку захоплює теорема Ловевера (на яку посилається у відповіді Суреша). щоб повністю узагальнити поняття діагоналізації. Тепер, оскільки з досвіду ми знаємо, що майже кожна діагоналізація, як видається, має спільну властивість призводити до надзвичайно важливого результату в математичній логіці, це робить теорему Ловервера досить цікавим інструментом.

— стопкід
джерело