Я розумію доказ нерозбірливості проблеми зупинки (наведена, наприклад, у підручнику Пападімітріу), засновану на діагоналізації.

Хоча доказ є переконливим (я розумію кожен його крок), для мене це не інтуїтивно зрозуміло в тому сенсі, що я не бачу, як хтось би це вивів, починаючи з проблеми.

У книзі доказ іде так: "припустимо, вирішує проблему зупинки на вході , тобто вирішує, чи машина Тьюрінга зупиняється на вході . Побудуйте машину Тюрінга яка приймає машину Тюрінга як вхідний , запускає і повертає результат. " Потім він показує, що не може дати задовільний результат. М ; x M x D M M H ( M ; M ) D ( D $M_H$$M;x$$M$$x$$D$$M$$M_H(M;M)$$D(D)$

Я хотів би мати інтуїцію, як уявно, довільна побудова , особливо ідея подати до себе, а потім і до себе. Що спонукало людей насамперед визначити ці конструкції та кроки?М $D$$M$$D$

Чи є у когось пояснення, як хтось міркував би їх в аргумент діагоналізації (чи якийсь інший доказ), якщо вони не знали такого типу аргументу для початку?

Додаток дав перший раунд відповідей:

Отже, перші відповіді вказують на те, що доведення нерозбірливості проблеми зупинки було чимось на основі попередньої роботи Кантора та Рассела та розробки проблеми діагоналізації, і що починати "з нуля" просто означало б необхідність повторного розкриття цього аргументу.

Досить справедливо. Однак, навіть якщо ми сприймаємо аргумент діагоналізації як добре зрозумілий, я все-таки вважаю, що існує «розрив інтуїції» від нього до проблеми зупинки. Доказ Кантора про незліченність реальних чисел я насправді вважаю досить інтуїтивно зрозумілим; Парадокс Рассела тим більше.

Те , що я до сих пір не бачу, що б мотивувати кого - то , щоб визначити на основі «s" самопрімененія " , а потім знову застосувати до себе. Це, здається, менш пов'язане з діагоналізацією (в тому сенсі, що в аргументі Кантора щось подібне не було), хоча, очевидно, добре працює з діагоналізацією, як тільки ви їх визначаєте.M M ; М $D(M)$$M$$M;M$$D$

PS

@babou підсумував те, що мене хвилює краще, ніж я: "Проблема багатьох версій доказів полягає в тому, що конструкції, здається, витягнуті з чарівної шапки".

У своїй редакції ви пишете:

Те , що я до сих пір не бачу, що б мотивувати кого - то , щоб визначити на основі «s" самопрімененія " , а потім знову застосувати до себе. Це, здається, менш пов'язане з діагоналізацією (в тому сенсі, що в аргументі Кантора щось подібне не було), хоча, очевидно, добре працює з діагоналізацією, як тільки ви їх визначаєте.M M ; М $D(M)$$M$$M;M$$D$

Поширене "популярне" узагальнення доказів Тьюрінга виглядає приблизно так:

«Якби ми мали машини , які могли б вирішити , буде чи інша машина привалах Тьюринга чи ні, ми могли б використовувати це , щоб побудувати іншу машину , що, з огляду на машина Тьюринга , зупиняться , якщо і тільки якщо дійсно НЕ зупинити. Але тоді ми могли б передайте як вхід до себе, і, таким чином, отримайте парадокс: ця машина зупинилася б і тоді, якби вона не зупинилася! " Д М М $M_H$$D$$M$$M$$D$

Тепер легко зрозуміти, що підсумовування вищевказаних глосів над важливою деталлю - зупинка машини Тюрінга також залежить від її введення, якого ми не вказали! Але це питання може бути виправлено досить легко: ми просто повинні мати D вибрати деякі відповідний вхід х M для кожного вхідного машини M , перед передачею їх обох М Н .$M$$D$$x_M$$M$$M_H$

Що є підходящим вибором для , враховуючи, що ми зрештою хочемо вивести протиріччя? Ну, природний вибір пропонується безпосередньо доказом "ручного хвилі", де ми в кінцевому підсумку отримуємо протиріччя, запустивши машину D на себе.$x_M$$D$

Таким чином, щоб поведінка справді була парадоксальною в цьому випадку, тобто, коли викликається як D ( D ) , ми хочемо, щоб зупинка D ( M ) залежала від поведінки M, коли викликалася як M ( M ) . Таким чином, ми отримаємо протиріччя , ми хочемо, встановивши M = D .$D$$D(D)$$D(M)$$M$ $M(M)$$M = D$

Зверніть увагу, це не єдиний вибір; ми могли б вивести те саме протиріччя, скажімо, побудувавши машину таку, що D ' ( M ) зупиняється тоді і лише тоді, коли M ( D ' ) (а не M ( M ) ) не зупиняється. Але, хоча зрозуміло, що машина D може легко дублювати свій вхід, перш ніж передати його в M H , не зовсім очевидно, як побудувати машину D ', яка б викликала M H з власним кодом як вхідним. Таким чином, використовуючи це$D'$$D'(M)$$M(D')$$M(M)$$D$$M_H$$D'$$M_H$ замість D без необхідності ускладнить доказ і зробить його менш інтуїтивним.$D'$$D$

Можливо, просто помилково думати, що хтось міркував на цьому аргументі, не викладаючи подібного аргументу в якийсь момент раніше, у "простішому" контексті.

Пам’ятайте, що Тьюрінг знав, що діагоналізація Кантора підтверджує незліченність дійсних дій. Більше того, його робота є частиною історії математики, яка включає парадокс Рассела (який використовує аргумент діагоналізації) та першу теорему про незавершеність (що використовує аргумент діагоналізації). Насправді, результат Геделя глибоко пов'язаний із доведенням нерозбірливості проблеми зупинки (а отже, і негативної відповіді на проблему Гільберта "Енштайдунгспроб").

Отже, я стверджую, що ваше питання в певному сенсі погано обгрунтоване і що ви не можете досягти проблеми зупинки, не пройшовши спочатку решту (або щось надзвичайно схоже). Хоча ми показуємо ці речі учням, не переходячи через історію, якщо ти був працюючим математиком, малоймовірно, що ти переходиш від нічого до машин Тьюрінга без нічого середнього - вся їх суть полягала в тому, щоб формалізувати обчислення, проблема, яку мали багато людей працювали над десятиліттями в цей момент.

Кантор навіть не застосував діагоналізацію в своєму першому доказі незліченності дій, якщо ми сприймаємо дати публікації як наближення до того, коли він думав про цю ідею (не завжди надійну річ), знадобилося йому близько 17 років, коли вже знав що результати були незліченними для опрацювання аргументу діагоналізації.

Посилаючись на "самозастосування" у доказі, який ви згадуєте, це також є невід'ємною частиною парадоксу Рассела (який повністю залежить від самонаправлення), а перша теорема про незавершеність Геделя подібна до потужної версії парадоксу Рассела . Доказ нерозбірливості проблеми зупинки настільки сильно поінформований роботою Геделя, що важко уявити собі потрапити без цього, отже, ідея "самозастосування" вже є частиною базових знань, необхідних вам, щоб дістатись до проблеми зупинки. . Аналогічно, робота Геделя - це переробка парадокса Рассела, тож ви не зможете потрапити туди без іншого (зауважте, що Рассел не був першим, хто спостерігав подібний парадокс, тому прототипи аргументу діагоналізації існують у формальній логіці з часу 600 р. До н.е. Як роботи Тьюрінга, так і роботи Геделя (біти, про які ми тут говоримо) можна розглядати як все більш потужні демонстрації проблем із самонаправленням та того, як воно вкладається в математику. Тому ще раз дуже важко припустити, що ці ідеї на рівні Тюрінга мали справу з нимиапріорі вони були кульмінацією роботи тисячоліть у частинах філософії, математики та логіки.

Цей посилання також є частиною аргументу Кантора, він просто не представлений такою неприродною мовою, як більш принципово логічний твір Тьюрінга. Діагоналізацію Кантора можна переосмислити як виділення елементів із набору потужностей множини (по суті, частини теореми Кантора). Якщо ми розглядаємо набір (позитивних) дійсних даних як підмножини натуралів (зауважте, нам не потрібні цифри, які потрібно замовляти, щоб це працювало, це просто робить більш просту презентацію) і стверджуємо, що є викид від натуралів до дійсність, тоді ми можемо створити елемент набору сил (тобто реальний), який не є в зображенні сюжету (і, отже, виходить протиріччя), прийнявши цей елемент як набір природників, які не є своїми зображення під сюжетом. Як тільки ми це сформулюємо так, це "

Самостійне застосування не є необхідним компонентом доказу

Коротко

Якщо є машина Тюрінга яка вирішує проблему зупинки, то з цієї машини ми можемо побудувати ще одну машину Тюрінга L з поведінкою зупинки (характеристикою зупинки), яка не може бути поведінкою зупинки жодної машини Тьюрінга.$H$$L$

Парадокс, побудований на самостійно застосованій функції ( у цій відповіді називається L - вибачте за невідповідності нотацій) - не необхідний компонент доказу, а пристрій, придатний для побудови одного конкретного протиріччя, приховуючи те, що здається "справжнім" мета "будівництва. Тому, мабуть, це не інтуїтивно.$D$$L$

Здається більш прямим показати, що існує лише численна кількість поведінки зупинки (не більше ніж машини Тьюрінга), яку можна визначити як характерні функції зупинки, пов'язані з кожною машиною Тьюрінга. Можна конструктивно визначити характерну функцію зупинки не в списку, а побудувати з неї, а з машини яка вирішує задачу зупинки, машини L, яка має цю нову характеристичну функцію зупинки. Але оскільки за конструкцією це не характерна функція зупинки машини Тюрінга, L не може бути такою. Оскільки L побудований з Н за допомогою методів машинобудування Тьюрінга, H не може бути машиною Тюрінга.$H$$L$$L$$L$$H$$H$

Самозастосування до себе, що використовується у багатьох доказах, є способом показати суперечність. Але вона працює лише тоді, коли неможлива функція зупинки побудована з діагоналі списку дозволених функцій зупинки Тюрінга шляхом перегортання цієї діагоналі (обмін 0 і 1 ). Але існує нескінченно багато інших способів побудови нової характерної функції зупинки. Тоді не-Тюрінґес вже не може бути підтверджений парадоксами брехуна (принаймні, не просто). Конструкція самозастосування не є інтуїтивно зрозумілою, оскільки вона не є істотною, але виглядає гладкою, коли витягується з чарівної шапки.$L$$0$$1$

По суті, не є машиною Тюрінга, оскільки вона з самого початку розроблена таким чином, щоб вона мала поведінку зупинки, яка не є машиною Тюрінга, і це може бути показано більш безпосередньо, отже, більш інтуїтивно.$L$

Примітка . Можливо, для будь-якого конструктивного вибору неможливої ​​функції зупинки існує обчислювальне перерахування перерахування машини Тюрінга таким чином, що воно стає діагональним (я не знаю). Але, imho, це не змінює того факту, що самозастосування - це метод непрямого доказування, який приховує більш інтуїтивний та цікавий факт.

Детальний аналіз доказів

Я не збираюся бути історичним (але дякую тим, хто є, мені подобається), але я лише намагаюся працювати з інтуїтивною стороною.

Я думаю, що презентація @vzn , з якою я стикався давно (я забула), насправді є досить інтуїтивно зрозумілою і навіть пояснює діагоналізацію назви. Я повторюю це в деталях лише тому, що я вважаю, що @vzn недостатньо наголосив на його простоті.

Моя мета - інтуїтивно зрозуміти спосіб отримання доказів, знаючи це про Кантора. Проблема багатьох версій доказів полягає в тому, що конструкції, здається, витягнуті з чарівної шапки.

Доказ, який я даю, не зовсім такий, як у питанні, але наскільки я бачу, це правильно. Якби я не помилився, це досить інтуїтивно, оскільки я міг знайти це через більше років, ніж мені хочеться порахувати, працюючи над дуже різними питаннями.

Випадок підмножини (Cantor)$\mathbb N$

Доказ Кантора передбачає (це лише гіпотеза), що існує перерахування підмножини цілих чисел, так що всі такі підмножини можуть бути описані його характерною функцією C j ( i ), яка дорівнює 1, якщо i ∈ S j і дорівнює 0 інакше.$S_j$$C_j(i)$$1$$i\in S_j$$0$

Це може розглядатися як таблиця , така що T [ i , j ] = C j ( i $T$$T[i,j]=C_j(i)$

Тоді, розглядаючи діагональ, ми будуємо характеристичну функцію таку, що D ( i ) = ¯ T [ i , i ] , тобто вона ідентична діагоналі таблиці з кожним бітом, перевернутим на інше значення.$D$$D(i)=\overline{T[i,i]}$

У діагоналі немає нічого особливого, крім того, що це простий спосіб отримати характерну функцію яка відрізняється від усіх інших, і це все, що нам потрібно.$D$

Отже, підмножина, що характеризується не може бути в перерахунку. Так як це було б правильно для будь-якого перерахування, не може бути перерахуванням , яка перераховує всі підмножини N .$D$$\mathbb N$

Згідно з початковим запитанням, це, очевидно, досить інтуїтивно. Чи можемо ми довести проблему зупинки як інтуїтивно зрозумілу?

Випадок проблеми зупинки (Тьюрінг)

Ми припускаємо, що у нас є перелік машин Тьюрінга (які ми знаємо, що це можливо). Поведінка зупинки машини Тьюрінга може бути описана його характерною функцією зупинки H j ( i ), яка дорівнює 1, якщо M j зупиняється на вході i і дорівнює 0 .$M_j$$H_j(i)$$1$$M_j$$i$$0$

Це може розглядатися як таблиця , така що T [ i , j ] = H j ( i $T$$T[i,j]=H_j(i)$

Тоді, розглядаючи діагональ, ми будуємо характерну функцію зупинки таку, що D ( i ) = ¯ T [ i , i ] , тобто вона ідентична діагоналі таблиці з кожним бітом, перевернутим на інше значення.$D$$D(i)=\overline{T[i,i]}$

У діагоналі немає нічого особливого, крім того, що це простий спосіб отримати характерну функцію зупинки яка відрізняється від усіх інших, і це все, що нам потрібно (див. Примітку внизу).$D$

Отже, поведінка зупинки, що характеризується не може бути поведінкою машини Тюрінга в перерахунку. Оскільки ми перерахували їх усі, ми робимо висновок, що немає машини Тюрінга з такою поведінкою.$D$

$T$$H_j$

$H$$H(i,j)$$H_j(i)$

$H$$L$$D$$L$$H$$L(i)$$H(i,i)$$H(i,i)$$1$$L(i)$

$L$$H$$D$$L$$H$

_{Я навмисно наслідував перший доказ і вступив у крихітні деталі}

Я відчуваю, що кроки приходять природним чином таким чином, особливо коли хтось вважає доказ Кантора досить розумним.

Перший перераховує судові споруди. Тоді людина приймає та змінює діагональ як зручний спосіб доторкнутися до всіх із них, щоб отримати незрозумілу поведінку, а потім отримує протиріччя, виставляючи предмет, який не враховує поведінку ... якщо якась гіпотеза повинна бути правдивою: існування перерахування для Кантора та існування обчислювального оракула, що зупиняється, для Тьюрінга.

$D$$T$$T$$L$$D$$L(i)$$H$$H(i,i)$

Порівняння з "іншим" доказом

$L$$D$

Ми будуємо його лише таким чином, щоб він мав характерну функцію зупинки, яка відповідає жодній машині Тьюрінга, і отримуємо прямо протиріччя з цього. Це дає нам свободу не використовувати діагоналі (для чого це варто).

$L$$j_L$$L=M_{j_L}$$L(j_L)$$T[j_L,j_L]=H(j_L,j_L)=1$$L(j_L)$$L(j_L)$$T[j_L,j_L]=H(j_L,j_L)=0$$L(j_L)$$L$$L$ не може бути машиною Тюрінга, оскільки вона побудована таким чином, щоб мати характерну функцію зупинки, яка не є функцією машини Тюрінга.

Побічним моментом є те, що цей звичайний доказ був би набагато болючішим, якби ми не обрали діагоналі, тоді як прямий підхід, який використовується вище, не має з цим проблеми. Чи це може бути корисно, я не знаю.

Існує також доказ цього факту, який використовує інший парадокс, парадокс Беррі, про який я чув від Рана Різа.

$B(n)$$n$$S(n)$$n$$B(n)$$S(n)$

Розглянемо наступну програму:

1. $n$

2. $L$

3. $L$

$B(n)$$n$$O(\log n)$$n$$O(\log n)$$C\log n$$N$$C\log N \leq N$$N$$B(N)$$B(N)$

Ця ж ідея може бути використана для доведення теорем про незавершеність Геделя, як показали Критчман та Раз .

Тут є більш загальна ідея, яка називається "теорема рекурсії", яка може бути більш інтуїтивно зрозумілою: машини Тьюрінга можуть використовувати власний опис (і, таким чином, працювати самостійно). Точніше, існує теорема:

Для будь-якої машини Тьюрінга Tіснує машина Тюрінга, Rяка проводить обчислення R(x) = T(R;x).

Якщо б у нас була машина Тьюрінга, яка могла б вирішити проблему зупинки, то, використовуючи описану вище ідею, ми можемо легко сконструювати різноманітні "брехунські" тюрінг-машини: наприклад, у позначеннях, подібних до пітона,

def liar():
    if halts(liar):
        return not liar()
        # or we could do an infinite loop
    else:
        return True

Більш складний аргумент - це по суті просто спроба зробити це безпосередньо, не звертаючись до теореми про рекурсію. Тобто це повторення рецепта побудови "самореференційних" функцій. наприклад, дана машина Тьюрінга T, ось один з таких рецептів побудови Rзадоволення

R(x) = T(R; x)

Спочатку визначтеся

S(M; x) = T(M(M; -); x)

де M(M; -)я маю на увазі те, що я насправді маю на увазі, що ми обчислюємо (використовуючи опис M) і додаємо опис машини Тюрінга, яка, на увазі y, оцінює M(M; y).

Тепер ми спостерігаємо, що якщо ми підключимося Sдо себе

S(S; x) = T(S(S; -); x)

ми отримуємо потрібне дублювання. Тож якщо ми встановимо

R = S(S; -)

то ми маємо

R(x) = T(R; x)

за бажанням.

Доказ Тьюрінга досить схожий на доказ Кантора про те, що кардинальність реалів («незліченна») більша, ніж кардинальність раціоналів («підрахункова»), оскільки їх не можна вводити у відповідність 1-1, але це не зазначається / не підкреслюється в дуже багато посилань (хто-небудь знає якісь?). (iirc) професор CS одного разу показав цього року тому на уроці (не впевнений, де він сам його взяв). у доказі Cantors можна уявити сітку з горизонтальним розміром n- ^ою цифрою числа та вертикальним розміром n- ^м числом набору.

Конструкція захисту від зупинки Тюрінга є досить схожою, за винятком того, що вміст таблиці замість цього Halt / Nonhalt на 1/0, а горизонтальна вісь - n- ^го вводу, а вертикальна вісь - n ^-та комп'ютерна програма. Іншими словами, комбінація комп’ютерних програм та входів підраховується, але нескінченна таблиця / масив не підлягає відліку на основі універсальної конструкції машинного тренажера, яка може "перевернути" зупинку на неприйнятний випадок, якщо припустити, що існує машина детектора зупинки (отже, скорочення рекламного абсурда ) .

Деякі докази того, що Тьюрінг частково мав на увазі побудову канторів, - це те, що його той же документ із підтвердженням зупинки говорить про обчислювані числа, як (у порядку рядків) реальні числа з обчислюваними цифрами.

На цьому етапі варто відзначити роботу Еміля Поста, якому (справедливо) приписують те, що він був співвідкривачем основних результатів обчислень, хоча, на жаль, був надрукований занадто пізно, щоб вважати співавтором рішення проблеми Енштайдунгспроблеми . Він, безумовно, брав участь у розробці так званої тези Церкви-Тьюрінга .

Пост був мотивований дуже філософськими міркуваннями, а саме теоретичними обмеженнями здатності людини робити обчислення чи навіть отримувати точні відповіді послідовно . Він розробив систему, яку тепер називають Пост-канонічними системами , деталі якої неважливі, і, на його думку, вони можуть бути використані для вирішення будь-якої проблеми, яку можна вирішити поодинці шляхом маніпулювання символами . Цікаво, що він чітко розглядав психічні стани як частину «пам’яті», тому, ймовірно, він хоча б вважав свою модель обчислення моделлю людської думки цілком.

Проблема Entscheidungs ​​розглядає можливість використання такого засобу обчислення, щоб сказати, визначити теоретичність будь-якої пропозиції, вираженої в системі Principia Mathematica . Але прем'єр-міністр був системою, чітко розробленою для того, щоб представляти всі математичні міркування, і, принаймні, в той час, коли логіка ще була в моді) усі людські міркування!

Тому дуже не дивно, як звернути увагу такої системи на самі Пост-канонічні системи, як і людський розум, завдяки творам Фреге, Русселя та логіків початку століття, звернув свою увагу на факультет міркувань. самого людського розуму.

Тож зрозуміло на даний момент, що самонавіювання, або здатність систем описувати себе, була досить природним предметом на початку 1930-х років. Насправді Девід Гільберт сподівався «набути» на себе математичні міркування, надавши формальний опис усієї людської математики, який потім міг би бути математично доведеним, щоб вона відповідала собі!

Після того, як отримано крок використання формальної системи для міркування про себе, це перехід і відхилення від звичних парадоксів самореференції (які мають досить давню історію ).

Оскільки всі твердження в Principia вважаються "правдивими" в деякому метафізичному сенсі, і Principia може висловити

програма pповертає результат trueпри введенніn

якщо існує програма, яка вирішує всі теореми в цій системі, досить просто висловити парадокс брехуна:

ця програма завжди бреше.

можна виразити через

Програма pзавжди повертає протилежне тому, що, як говорять, математика principia pповернеться.

Складність полягає в побудові програми p. Але в цей момент цілком закономірним є розгляд більш загального речення

Програма pзавжди повертає протилежне тому, що скаже прем'єр-міністр q.

для деяких довільних q. Але це легко створити p(q)для будь-якого даного q! Просто обчисліть те, що прогнозує PM, що вийде, і поверніть протилежну відповідь. Ми не можемо просто замінити qна pв даний момент , хоча, так як pприймає в qякості вхідних даних, і qнемає (вона не приймає ніякого введення). Давайте змінимо наше речення так, щоб p воно взяло вклад:

Програма pповертає протилежне тому, що каже ПМ q(r).

Аргумент! Але тепер pбере 2 частини введення: qі r, тоді як qзаймає лише 1. Але зачекайте: ми хочемо pв обох місцях, так rце не нова інформація, а знову та сама частина даних, а саме q! Це критичне спостереження.

Так ми нарешті отримуємо

Програма pповертає протилежне тому, що каже ПМ q(q).

Давайте забудемо про цей дурний бізнес "Прем'єр-міністр", і ми отримаємо

Програма p(q)повертає протилежне тому q(q), що повернеться.

Це законна програма умови, що у нас є програма, яка завжди говорить нам, що q(q)повертає . Але тепер, коли ми нашу програму p(q), ми можемо замінити qна pі отримати парадокс нашого брехуна.