Як побудувати ворота XOR, використовуючи лише 4 NAND ворота?

xorворота, тепер мені потрібно побудувати цю браму, використовуючи лише 4 nandворота

a b out
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0

то xor = (a and not b) or (not a and b), що

Я знаю відповідь, але як отримати схему воріт із формули?

EDIT

Я маю на увазі інтуїтивно, для мене я повинен отримати цю, якщо я це роблю поетапно, а за цим визначенням xor = (a and not b) or (not a and b).

і xorбуде побудовано з 5 nandворіт (перший №1 зображення нижче)

моє запитання більше схоже: уявіть, що перша людина в історії nandз'ясує цю формулу, як він / вона (процес мислення) можуть отримати 4 рішення з цієї формули, крок за кроком.

З тієї формули? Це можна зробити. Але легше почати з цього: (тут використовується інша позначення)

a ^ b = ~(a & b) & (a | b)

Гаразд, що тепер? Врешті-решт, нам слід вивести ~(~(~(a & b) & a) & ~(~(a & b) & b))(схоже, що у нього 5 НАНД, але так само, як у схеми, він має підвираз, який використовується двічі).

Тож зробіть щось схоже ~(a & b) & a(і те саме, але в bкінці) і сподівайтеся, що воно буде триматися навколо: ( andпоширює or)

(~(a & b) & a) | (~(a & b) & b)

Зараз досить близько, просто застосуйте DeMorgan, щоб перетворити цю середину orна and:

~(~(~(a & b) & a) & ~(~(a & b) & b))

І це все.

Я думаю, ти просиш цього підтвердження:

A^B = (!A)B + A(!B)
    = !!((!A)B) + !!(A(!B))
    = !(!!A + !B) + !(!A + !!B)
    = !(A + !B) + !(!A + B)
    = !((A + !B)(!A + B))
    = !(A(!A) + AB + (!A)(!B) + B(!B))
    = !(AB + (!A)(!B))
    = !(AB)(!(!A)(!B))
    = !(AB)(!!A + !!B)
    = !(AB)(A+B)
    = !(AB)A + !(AB)B
    = !!(!(AB)A + !(AB)B)
    = !((!(!(AB)A))(!(!(AB)B)))

Хоча, мабуть, NANDв отриманому рівнянні використовується 5 s, але дублікат !(AB)буде використаний лише один раз, коли ви проектуєте його контур.

$\text{NAND}(A,B)=\overline{AB}\;$:

• $C=\overline{AB}$

• $D_1=\overline{AC}$

• $D_2=\overline{BC}$

• $E=\overline{D_1D_2}$

Складаючи все це разом, спочатку зазначимо це

$C=\overline{AB}=\overline A+\overline B$

$\begin{align} \overline{D_1}&=AC\\ &=A(\overline A+\overline B)\\ &=A\overline A+A\overline B\\ &=0+A\overline B\\ &=A\overline B\\ \end{align}$

$\overline{D_2}=B\overline A$

$\begin{align} E&=\overline{D_1D_2}\\ &=\overline{D_1}+\overline{D_2}\\ &=A\overline B + B\overline A \end{align}$

Яке саме визначення XOR. Ви можете просто змінити все це, якщо хочете почати з початкових даних, а не просто перевірити відповідь.

Пошук відповіді без попередніх знань

Це призначено для відповіді на явний запит, доданий як редагування до питання, для способу пошуку рішення з нуля. З огляду на те, що питання стосується продуманого процесу, я наводжу всі деталі.

$A$$B$

$\text{XOR}(A,B)=A\overline B + B\overline A\;$.

Тож ми можемо спробувати здогадатися, який саме вхід до цього ворота дасть бажаний вихід.

$\text{NAND}(X,Y)=\overline{XY}= \overline X+\overline Y\;$

Поєднавши цю останню формулу з результатом, який ми маємо отримати, ми отримуємо:

• $\overline X=A\overline B\;$$X=\overline{A\overline B}=\overline A+B\;$.

• $Y=\overline{\overline A B}=A+\overline B\;$.

Зауважте, що це лише найпростіша можливість. Є й інші пари входів, які дали б бажаний результат, оскільки ми не об'єднуємось у вільну алгебру, оскільки NAND має рівнянні властивості. Але ми спробуємо це для початку.

$X$$Y$$A$$B$

Ми могли б спробувати повторити процедуру об'єднання (я це зробив), але це, природно, призведе нас до використання ще чотирьох воріт, отже, до рішення 5 воріт.

$X$$Y$$Z$$A$$B$

$X$$Y$$Z$$A$$B$$A$$B$

$A$$B$

$Z=\text{NAND}(A,B)=\overline{AB}= \overline A+\overline B\;$

$Z$$A$$B$$X$$Y$

$A$$B$

Це легко перевірити

$\begin{align} \text{NAND}(Z,A)&=\overline{ZA}\\ &=\overline{\overline{AB}\;A}\\ &=\overline{(\overline A+\overline B)\;A}\\ &=\overline{\overline AA+\overline BA}\\ &=\overline{0+\overline BA}\\ &=\overline{\overline BA}\\ &=\overline{A\overline B}\\ &=X \end{align}$

$\text{NAND}(Z,B)=Y$

Отже, ми можемо скласти ці чотири ворота, щоб отримати бажаний результат, тобто функцію XOR.

$(0,0)$

$\text{XOR}$$\text{NAND}(0,0) = 1$

• $\text{NAND}$$\text{NAND}(1,1) = 0$

  • $\text{NAND}(0,1) = 1$$\text{NAND}(1,0) = 1$$\text{NAND}(0,0)$$\text{NAND}$

$\text{NAND}$$(0,0)$$(0,1), (1,0),$$(1,1)$ проти рішення і вважають , що він просто працює. Пощастило.

Я намагався дати відповідь, використовуючи формулу за запитом. Сподіваюся, ви це оціните.
Z = AB '+ A'B
Z = AA' + AB '+ BB' + A'B ---> BB '= AA' = 0
Z = A (A '+ B') + B (B '+ A ')
Z = A (AB)' + B (AB) '-> Підказка,
тому зараз (AB)' може пройти через 1-й NAND-шлюз, потім у 2-й та третій NAND-ворота вихід 1-го NAND-шлюзу пройде через один з вхід як A і B. Після цього нам потрібно ще одне доповнення, тому використовуйте четвертий NAND-шлюз.
NAND (1-й) = (AB) '= A' + B '
NAND (2-й) = (A (AB)') '= (A (A' + B '))' = (AB ')' = A '+ B
NAND (3-й) = (B (AB) ')' = (B (A '+ B')) '= (A'B)' = A + B '
NAND (4-й) = [(A' + B) (A + B ')]' = [A'B '+ AB]' = (A + B) (A '+ B') = AB '+ A'B

Щасливі!

Формула: XOR = (a і не b) або (не a і b).

Це не те, що ви хочете, ви хочете формулу, яка є NAND. Пам’ятайте, що не (a або b) = не a і не b, і тому (a або b) = не (не a і не b). Тому

(а і не b) або (не a і b) =

не (не (а і не b) і не (не a і b)) =

не ((не a чи b) і (a чи не b)) =

NAND (не a чи b, a чи b).

Таким чином, ми використовували один NAND-шлюз і повинні обчислити (не a чи b) і (a чи b), використовуючи три NAND. Перетворюємо кожен вираз у NAND:

не a або b = not (a і не b) = NAND (a, не b)

а чи ні b = не (не a і b) = NAND (не a, b)

Тепер ми спостерігаємо, що (x і y) = x і (не x або y): Якщо x хибно, то обидві сторони помилкові. Якщо x істинне, то (не x або y) = (false або y) = y. Це справедливо для NAND так само, як це стосується AND. Тому

NAND (a, не b) = NAND (a, не a або not b) = NAND (a, NAND (a, b))

NAND (b, не a) = NAND (b, не b або не a) = NAND (b, NAND (a, b)).

Отже, ми спочатку знаходимо середину = NAND (a, b), зліва = NAND (a, середина) і справа = NAND (b, середина), нарешті XOR = NAND (зліва, справа).

* Зліва направо - D1, D2, D3, D4 ** D1 = (AB) 'АБО (A' + B ')

припустимо

(AB) '= C

D2 = (AC) '= A' + C '

D3 = (BC) '= B' + C ', то

D4 = (D2.D3) '

D4 = ((AC) '. (BC)') '

D4 = (AC) '' + (BC) ''

D4 = (AC) + (BC)

D4 = A. (A '+ B') + B. (A '+ B')

D4 = AB '+ BA' {A.A '= B.B' = 0} **