Знайдіть центральну точку в наборі точок метричного простору менше ніж

У мене є набір $n$ точки, визначені в метричному просторі - я можу виміряти "відстань" між точками, але нічого іншого. Я хочу знайти найбільш центральну точку в цій множині, яку я визначаю як точку з мінімальною сумою відстаней до всіх інших точок. Обчислення метрики відбувається повільно, тому потрібно уникати, де це можливо.

Очевидний спосіб знайти цю точку використання $n^2$ метричні обчислення відстані, оскільки він просто (а) обчислює для кожної точки суму відстаней до всіх інших точок і тоді (б) приймає мінімальну точку.

Чи є спосіб зробити це менше $O(n^2)$ порівняння відстаней? (Можливо, якимось чином використовую нерівність трикутника, що має відповідати моїй метриці.)

Хорошого наближення може бути достатньо, якщо точного методу не існує.

— Логістика відкритих дверей
джерело

Без нерівності трикутника (або іншого способу отримання інформації про неміряні краї),

O (n^{2})

$O(n^2)$ - єдине рішення; це можна побачити за допомогою аргументу антагоніста.

— Кітціл

Припустимо, існує нерівність трикутника - це має бути для моєї метрики.

— Логістика відкритих дверей

Це по суті обчислення радіографа графіка з рівністю трикутника.

— Kaveh

@Kaveh Я думаю, ви маєте на увазі радіус ... якщо тільки графіка не має зламаного краю. Я переконуюсь, що занадто багато словникового запасу я не знаю. --- Але це тоді повний графік, а розмір вводу - це лише кількість вершин.

— бабу

@OpenDoorLogistics Якщо у нього немає нерівності трикутника, це не метричний простір за дефініцією. Проясніть, будь ласка, питання: якщо ви знаєте, що це метричний простір, то ви знаєте, що він має нерівність трикутника; якщо ви не знаєте, що в ньому є нерівність трикутника, ви не можете стверджувати, що це метричний простір.

— Девід Річербі

Відповіді:

Ні. Ви не можете зробити краще, ніж $\Theta(n^2)$ в гіршому випадку.

Розглянемо розташування точок, де кожна пара точок знаходиться на відстані $1$ один від одного. (Це можлива конфігурація.) Тоді ви не можете зробити краще, ніж вивчити кожен край. Зокрема, якщо є будь-який край, який ви не оглядали, то противник може вибрати довжину цього краю, яка буде будь-якою $0.9$ , $1.0$ , або $1.1$ ; усі ці варіанти відповідають усім іншим спостереженням, які ви зробили, і вимогам метрики (наприклад, з нерівністю трикутника), тому всі три можливі; але вони вимагають різних результатів. Таким чином, якщо ваш алгоритм не вивчає цей край, а потім щось виводить, супротивник завжди може вибрати довжину для невивченого краю, що зробить неправильний вихід вашого алгоритму.

Однак, якщо ви знаєте, що всі пункти живуть $\mathbb{R}^d$ (навіть якщо вам не вказані їх координати), то проблему можна вирішити шляхом вимірювання $O((d+1)n)$ відстані, не передбачаючи відроджень (без підмножини) $d+1$ точки співпланові).

Зокрема, підберіть $d+1$ балів випадковим чином. Це будуть якірні точки. З огляду на їх парні відстані, ви можете обчислити координати для них, що відповідають їх попарним відстаням. Тепер для кожного іншого пункту $P$ , обчислити відстань від $P$ до кожної точки прив’язки. Використовуючи тріангуляцію та ці відстані, можна обчислити розташування $P$ відносно точки прив’язки і, отже, координат для $P$ . Зробіть це для кожної точки без прив’язки $P$ . Тепер у вас є координати для кожної точки, і ви можете використовувати ці координати, щоб знайти центральну точку, не вимагаючи від оракула дати вам більше парних відстаней. Я не знаю, чи можна зробити цей останній крок швидше, ніж $O(n^2)$ час , але це можна зробити без вимірювання більше парних відстаней.

— DW
джерело

Ти маєш

n

$n$ бали в розмірності

n - 1

$n-1$ . Навіть дивлячись на всі координати введення потрібно

Θ (n^{2})

$\Theta(n^2)$ час.

— Луї

@Louis Питання нічого не говорить про розміри, і не впевнений, що це показник. Все, що ми маємо, - це нерівність трикутника. Отже, правильний вигляд - коментар Каве: як повний графік. Це відповідає цій відповіді. Але я поняття не маю, чи відповідає це будь-якій фіксованій метриці, коли

n

$n$ росте без зв’язок.

— бабу

@DW Спасибі - ми могли б зробити щось краще в середньому випадку? Це мотивовано реальною проблемою, тому дані, ймовірно, є "середніми" (що б це не означало).

— Логістика відкритих дверей

@all - вибачення за плутанину re: metric (я мирянин у теоретичному КС). Моя функція відстані безумовно підкоряється 4 критеріїв для метричного простору, згідно з визначенням Вікіпедії метричного простору посилання .

— Логістика відкритих дверей

@OpenDoorLogistics, я додав один особливий випадок, коли, здається, можна зробити краще.

— DW

Перевірте роботу Петра Індика над швидкими алгоритмами для метричних просторів. ( Підлінійні алгоритми для метричних просторових задач , у працях STOC '99 , стор.428–434. ACM, 1999; PS ) Розділ 3 дає лінійний часовий приблизний 1-медіанний алгоритм.

— user71641
джерело

Чи можете ви дати короткий підсумок алгоритму? Ми в ідеалі шукаємо повні відповіді, а не посилання на зовнішній вміст.

— Девід Річербі

Вибачте за дуже повільну відповідь. Я, очевидно, не перевіряю StackExchange дуже часто. Я думаю, що мені знадобиться більше години, щоб написати напівпристойний підсумок, тоді як документ Петра прекрасно написаний, дуже чітко пояснює алгоритм і має всі точні визначення поруч. Тому я особисто настійно рекомендую використовувати цей високоякісний зовнішній контент, а не внутрішній вміст середньої якості, який я міг би створювати. Коротка відповідь: Якщо ви бажаєте просто знайти приблизну медіану, ви можете зробити це в лінійний час O (n).

— user71641