Чи формуються комплекти NP з двох інших наборів лише у тому випадку, якщо принаймні один з них є жорстким?

Це питання дещо суперечить попередньому питанню про множини, сформовані з множинних операцій на NP-повних множинах:

Якщо множина, що виникає в результаті об'єднання, перетину або декартового добутку двох вирішальних множин і NP-повна, принаймні одна з обов'язково NP-важка? Я знаю, що обидва вони не можуть бути в P (якщо P! = NP), оскільки P закритий при цих заданих операціях. Я також знаю, що умови "вирішуваного" та "NP-жорсткого" необхідні, оскільки якщо ми розглянемо будь-який NP-повний набір та інший набір поза межами NP (будь то NP-жорсткий чи не визначений), ми можемо сформувати два нових NP-жорсткі набори не в NP, перетин яких NP-повний. Наприклад: , і . Однак я не знаю, як діяти після цього. $L_1$ $L_2$ $L_1, L_2$ $L$ $B$ $L_1:= 01L \cup 11B$ $L_2:= 01L \cup 00B$

Я маю в виду , що в разі об'єднання не може бути правдою , так як ми можемо прийняти NP-повний набір і виконати будівництво в теоремі Ладнер, щоб отримати безліч НПІ , який є підмножиною . Тоді є оригінальним NP-повним набором. Однак я не знаю, чи все ще знаходиться в NPI або NP-hard. Я навіть не знаю, з чого почати у випадку перетину та декартового продукту. $A$ $B \in$ $A$ $B \cup (A \setminus B) = A$ $A \setminus B$

complexity-theory np-hard np np-intermediate

— Арі
джерело

Проблема в P може бути NP-повною, якщо P = NP, що робить ваше твердження, "вони не можуть бути в P" хибними.

— Wojowu

@Wojowu Дякую, ви праві. Я просто припустив, що розуміється, що все це питання засноване на передумові, що P! = NP. Інакше це безглуздо / тривіально, оскільки у нас тоді буде NPC = P. Я відредагую питання.

— Арі

@Ari, насправді , навіть якщо .

N P C \neq P

$NPC\not = P$

P = N P

$P=NP$

— Том ван дер Занден

@TomvanderZanden Як це можливо? тож якщо P = NP, то будь-яка проблема в NP може бути вирішена за багаточлен, включаючи проблеми в NPC.

N P C \subseteq N P

$NPC \subseteq NP$

— Арі

@Ari Порожній набір і набір усіх рядків знаходяться в , але вони не є незавершеними. Ви не можете нічого зменшити до порожнього набору (або набору всіх рядків), оскільки це завжди не (відповідно, так) екземпляр.

N P

$NP$

N P

$NP$

— Том ван дер Занден

Перетин двох мов, які не є NP, може бути жорстким. Приклад: Рішення будь-якого екземпляра 3SAT - це заданий перетин рішень екземпляра HORN-3SAT та екземпляра ANTIHORN-3SAT. Це тому, що пункт 3CNF повинен бути або клаксом Horn, або anti-Horn, а екземпляр 3SAT є сполучником таких пропозицій. 3SAT, звичайно, NP-завершений; HORN-3SAT і ANTIHORN-3SAT є обома в P.

— Кайл Джонс
джерело

Я не можу наслідувати твій приклад. Перетин HORN-SAT та ANTIHORN-SAT є досить нудною мовою, яка, безумовно, є в П.

— Yuval Filmus

HORN-3SAT можна визначити багатьма способами. Один із способів - це виправити кодування екземплярів HORN-3SAT - кожна рядок кодує якийсь такий екземпляр - і тоді HORN-3SAT складається з приємних екземплярів. Це кодування, ймовірно, відрізняється від кодування, яке ви використовували б для ANTIHORN-3SAT, тому не ясно, що саме мова перетину - точно не SAT.

— Yuval Filmus

Іншою можливістю є визначення HORN-3SAT як мови 3SAT екземплярів, які (i) у формі Рогу, (ii) задовольняються. Тепер перетин HORN-3SAT та ANTIHORN-3SAT має сенс: він складається з усіх екземплярів 3SAT, які (i) є у формі Horn та Anti-Horn, (ii) задовольняються. Це може бути простіше, ніж кожен з HORN-3SAT та ANTIHORN-3SAT.

— Yuval Filmus

Це дуже дивне визначення мовного перетину, відмінне від того, яке тут малося на увазі. Якщо і - мови (наприклад, 3SAT), то під їх перетином маємо на увазі .

L_{1}

$L_1$

L_{2}

$L_2$

L_{1} \cap L_{2}

$L_1 \cap L_2$

— Yuval Filmus

@ KyleJones @ Yuval Я думаю, що може виникнути певна плутанина щодо примірників проти мов. Хоча кожен екземпляр 3SAT, безумовно, складається виключно з пунктів Horn та Anti-Horn, але це не так, що мова дорівнює або альтернативно , так як ці безлічі мають екземпляри кожен з яких складається виключно з Хорн положень або анти-Хорна , тоді як кожен екземпляр 3sat може мати суміш цих двох типів статей ..

3 S A T

$\mathsf{3SAT}$

H O R N 3 S A T \cap A N T I H O R N 3 S A T

$\mathsf{HORN3SAT}\cap\mathsf{ANTIHORN3SAT}$

H O R N 3 S A T \cup A N T I H O R N 3 S A T

$\mathsf{HORN3SAT}\cup\mathsf{ANTIHORN3SAT}$

— Арі