Переписування термінів; Обчисліть критичні пари

Я намагався вирішити наступну вправу, але я застряг, намагаючись знайти всі критичні пари .

У мене є такі питання:

Як я можу знати, яка критична пара створила нове правило?
Звідки я знаю, що знайшов усі критичні пари?

Нехай де є двійковим, є одинарним, а - константою. $\Sigma= \left \{ \circ, i, e \right \}$ $\circ$ $i$ $e$
$E = {\begin{matrix} (x \circ y) \circ z \approx x \circ (y \circ z) \\ x \circ e \approx x \\ x \circ i (x) \approx e \end{matrix}}$ $E=\left \{ \begin{gather} ( x \circ y ) \circ z \approx x \circ\left ( y \circ z \right ) \\ x \circ e \approx x \\ x \circ i(x) \approx e \end{gather} \right\}$

Моя робота поки що:

$x\circ e >_{\textsf{lpo}} x$ (LPO 1) $x$ є змінною

$x\circ i(x)>_{\textsf{lpo}} e$ (LPO 2b) справа немає термінів сторона

$(x\circ y)\circ z\approx x\circ(y\circ z)$

$s=\circ(\underset{\large s_1}{\circ(x,y)},\underset{\large s_2}{\strut z})\qquad t=\circ (\underset{\large t_1}{x\strut}, \underset{\large t_2}{\circ(y,z)})$ (LPO 2c)

перевірте, що $s>t_j$ , $j=\overline{1,m}$

$s>_{\textsf{lpo}}t_1$ (LPO 1),

щоб довести, що $s>_{\textsf{lpo}}t_2$ ( 2c) ми доводимо що $с >_{lpo} у (LPO 1); с >_{lpo} z (LPO 1); \circ (х, у) > у (LPO 1)$ $s>_{\textsf{lpo}} y \;\;\text{(LPO 1)};\qquad s>_{\textsf{lpo}}z \;\;\text{(LPO 1)};\qquad \circ(x,y)>y\;\;\text{(LPO 1)}$

знайди таким, що $i$ $s_i>_{\textsf{lpo}}t_i$ $i=1$ $\circ (х, у) >_{lpo} х (LPO 1)$ $\circ(x,y)>_{\textsf{lpo}}x\;\;\text{(LPO 1)}$

$(x\circ y)\circ z>_{\textsf{lpo}} x\circ (y\circ z)$

а. B. c. $(x\circ y)\circ z\;\rightarrow\; x\circ (y\circ z)$

$x_1\circ e\;\rightarrow\; x_1$

$x\circ y \mathrel{\,=?\,} x_1\circ e$

$\theta\{x \;\leftarrow \;x_1;\; y\;\leftarrow \;e\}$
$\begin{matrix} (х_{1} \circ е) \circ z & \overset{}{\to} & х_{1} \circ z \\ ↓ & ↓ \\ х_{1} \circ (е \circ z) & \overset{}{\to} & е \circ z \approx z \end{matrix} ліва ідентичність?$ $\require{AMScd} \require{cancel} \begin{CD} (x_1\circ e)\circ z @>>> \cancel{x_1}\circ z\\ @VVV @VVV\\ \cancel{x_1}\circ(e\circ z) @>>> e\circ z\approx z \end{CD}\qquad\text{left identity?}$
$(x\circ y)\circ z\;\rightarrow\; x\circ (y\circ z)$

$e\circ x_1\;\rightarrow\; x_1$

$x\circ y \mathrel{\,=?\,} e\circ x_1$

$\theta\{x \;\leftarrow \;e;\; y\;\leftarrow \;x_1\}$ $\begin{matrix} (е \circ х_{1}) \circ z & \overset{}{\to} & х_{1} \circ z \\ ↓ & ↓ \\ е \circ (х_{1} \circ z) & \overset{}{\to} & ? \end{matrix}$ $\begin{CD} (e\circ x_1)\circ z @>>> x_1\circ z\\ @VVV @VVV\\ e\circ(x_1\circ z) @>>> ? \end{CD}$
$(x\circ y)\circ z\;\rightarrow\; x\circ (y\circ z)$

$x_1\circ i(x_1)\;\rightarrow\; e$

$x\circ y \mathrel{\,=?\,} x_1\circ i(x_1)$

$\theta\{x \;\leftarrow \;x_1;\; y\;\leftarrow \;i(x_1)\}$ $\begin{matrix} (х_{1} \circ i (х_{1})) \circ z & \overset{}{\to} & е \circ z \\ ↓ & ↓ \\ х_{1} \circ (i (х_{1}) \circ z) & \overset{}{\to} & ? \end{matrix}$ $\begin{CD} (x_1\circ i(x_1))\circ z @>>> e\circ z\\ @VVV @VVV\\ x_1\circ(i(x_1)\circ z) @>>> ? \end{CD}$

Як підтверджуючий документ, у мене є "Переписування термінів і все це" Франца Баадера та Тобіаса Ніпкова.

( оригінальне зображення тут )

EDIT1

Після пошуку критичних пар у мене є такий набір правил (якщо 2.a є основним):

Е = {\begin{matrix} (х \circ у) \circ z \approx х \circ (у \circ z) \\ х \circ е \approx х \\ х \circ i (х) \approx е \\ х \circ (i (х) \circ у) \approx у \\ х \circ (у \circ i (х \circ у)) \approx е \\ е \circ х \approx х \\ е \circ (х \circ у) \approx х \circ у \end{matrix}}

$E=\left \{ \begin{gather} ( x \circ y ) \circ z \approx x \circ\left ( y \circ z \right ) \\ x \circ e \approx x \\ x \circ i(x) \approx e \\ x \circ (i(x) \circ y) \approx y \\ x \circ ( y \circ i(x \circ y) ) \approx e \\ e \circ x \approx x \\ e \circ (x \circ y) \approx x \circ y \end{gather} \right\}$

logic first-order-logic

— Олександру Чімпану
джерело

@MartinSleziak я мав в виду , що документ , який я використовую , щоб вирішити цю проблему , є термін Перезапис і все , що »Франца Баадера і Тобіас Нипкова І що поняття і позначення стилю там ..

— Олександр Cimpanu

Я не впевнений, чи допоможе це вам у будь-якому випадку, але пошук "критичних пар", "переписування термінів", "групових аксіом" призводить до деяких слайдів, які розповідають про критичні моменти вашої системи. (Або хоча б дуже схожа система). Дивіться тут або тут .

— Мартін

@MartinSleziak, я переглянув слайди, вони можуть бути корисними в цей момент, я був королем боротьби з книгою. Зараз я пробую деякі ідеї. Дякую за твою допомогу.

— Олександру Чімпану

Перш ніж вирішувати актуальні питання, одне зауваження щодо вашої роботи досі: ліве скасування в 2.а. не є правильним в цілому, критичною парою буде просто . Отже, ви не отримуєте критичної пари 2.b. Проблема цього скасування полягає в тому, що отримане рівняння взагалі не випливає з аксіом, з яких ви почали; Наприклад, якщо ви працюєте мовою кілець, ви можете в якийсь момент отримати критичну пару , але вивести ( було б неправильно) (це означає, що у вас є лише тривіальна модель). Жодна процедура перезапису звуку, включаючи Хьюет, не повинна допускати цього зменшення. $x\circ(e\circ z) \approx x\circ z$ $0*x \approx 0*y$ $x\approx y$

З іншого боку, вам не вистачає критичних пар, які ви отримуєте, об'єднуючи (перейменовані версії) або з усіма (тобто використовуючи другий ). Отримані критичні пари є $x\circ e$ $x\circ i(x)$ $(x\circ y)\circ z$ $\circ$

$x\circ(y\circ e)\leftarrow (x\circ y)\circ e\to x\circ y$ , яке після зменшення стає тривіальним рівнянням , і $x\circ y\approx x\circ y$
$x\circ(y\circ i(x\circ y))\leftarrow(x\circ y)\circ i(x\circ y)\to e$ , яке не може бути зменшено далі і дає правило (якщо припустити, що в пріоритеті прямо використовується для визначення LPO, так само, як ви робили при орієнтуванні ). $x\circ(y\circ i(x\circ y))\to e$ $\circ\triangleright e$ $\triangleright$ $x\circ i(x)\approx e$

Основна процедура завершення:

Щоразу, коли ви створюєте критичну пару, ви зменшуєте обидві сторони, наскільки це можливо, використовуючи поточний набір правил. Якщо отримані нормальні форми не рівні, ви створюєте нове правило. Наприклад, ваш 2.c. дає нове правило . З іншого боку, об'єднання з дає критичну пару , яке можна звести до тривіального і відкидається. $x\circ(i(x)\circ z)\to e\circ z$ $(x\circ y)\circ z$ $x_1\circ y_1$ $(x\circ y)\circ(z\circ z_1)\leftarrow((x\circ y)\circ z)\circ z_1\to(x\circ(y\circ z))\circ z_1$ $x\circ(y\circ(z\circ z_1))\approx x\circ(y\circ(z\circ z_1))$
Кожного разу, коли ви створюєте нове правило , ви повинні враховувати всі критичні пари між ним та існуючими правилами , перевіряючи наявність уніфікованості з кожною незмінною та навпаки. Також не забудьте перевірити наявність власних перекриттів, тобто об'єднаності з власними підтермінами, як ми це робили вище для асоціативності. Ви зупиняєтесь лише тоді, коли всі критичні пари існуючих правил були перевірені та або вироблені нові правила, або були відкинуті. $l\to r$ $l_1\to r_1,\dots,l_n\to r_n$ $l$ $l_i$ $l$

Цю процедуру можна досить вдосконалити. Зокрема, ви можете використовувати нові правила для спрощення старих (і, можливо, відкидання їх, якщо вони стануть тривіальними, тобто новим правилом вони підпадають під дію), і хороший евристик для вибору наступної критичної пари для дослідження може кардинально скоротити кількість правил.

— Клаус Драгер
джерело

Чи можемо ми зробити спрощення на зразок 2.a, коли говоримо про процедуру завершення роботи Хуета?

— Олександру Чімпану

Як ви об'єднаєте x∘e або x∘i (x) з усіма (x∘y) ∘z (тобто використовуючи другий ∘) ?

— Олександру Чімпану

Щодо цього спрощення, у 2.a, це було зроблено на уроці, тому воно повинно мати певну логіку.

— Олександру Чімпану

Чи ви обробляли системи умовних рівнянь, і ваші аксіоми включали ліву скасовуваність ( )? Це крок, який ви робите в 2.а, і якщо виправдана аксіомою, то можете. Навіть це буде ярликом, проте - строго кажучи, ви спершу отримаєте неприведене рівняння, потім отримаєте зменшене за допомогою умовного рівняння, а потім позбудетесь від невиправленого (тому що воно не піддається).

x * y = x * z \Rightarrow y = z

$x*y=x*z\Rightarrow y=z$

— Клаус Драгер

Не знаю. Я вважав, що це стосується вдосконаленої процедури завершення (з якою я не знайомий). Припустимо, що 2.а правильно, я змінив своє запитання, щоб опублікувати нові правила, які я отримав.

— Олександру Чімпану