"Середня висота висаджених площинних дерев" Кнут, де Бреййн та Райс (1972)

Я намагаюся вивести класичний документ у заголовку лише елементарними засобами (без генеруючих функцій, без складного аналізу, без аналізу Фур’є), хоча з значно меншою точністю. Коротше кажучи, я "лише" хочу довести, що середня висота $h_n$ дерева з $n$ вузлами (тобто максимальна кількість вузлів від кореня до листа) задовольняє $h_n \sim \sqrt{\pi n}$ .

$A_{nh}$$h$$A_{nh} = A_{nn}$$h \geqslant n$$B_{nh}$$n$$h+1$$B_{nh} = A_{nn} - A_{nh}$$h_n = S_n/A_{nn}$$S_n$

$$S_n = \sum_{h \geqslant 1} h(A_{nh} - A_{n,h-1}) = \sum_{h \geqslant 1} h(B_{n,h-1} - B_{nh}) = \sum_{h \geqslant 0} B_{nh}.$$ Добре відомо, що , для набору загальних дерев з n вузлами знаходиться в біекції з набором двійкових дерев з n-1 вузлів, підраховані за каталонськими номерами.A n n = 1n ( 2n-2n - 1 ) nn-$A_{nn} = \frac{1}{n}\binom{2n-2}{n-1}$$n$$n-1$

Тому перший крок - знайти $B_{nh}$ а потім основний член в асимптотичному розширенні $S_n$ .

У цей момент автори використовують аналітичну комбінаторику (три сторінки) для отримання

$$B_{n+1,h-1} = \sum_{k \geqslant 1} \left[\binom{2n}{n+1-kh} - 2\binom{2n}{n-kh} + \binom{2n}{n-1-kh}\right].$$

Моя власна спроба полягає в наступному. Я вважаю біекцію між деревами з вузлами та монотонними стежками на квадратній сітці від до які не перетинають діагоналі (і складаються з двох видів кроків: та ). Ці стежки іноді називають Дік-стежками або екскурсіями . Я можу зараз висловити у вигляді гратчастих шляхів: це кількість шляхів Dyck довжиною 2 (n-1) та висотою, більшою або дорівнює . (Примітка: дерево висотою перебуває в біекції з Дайковим шляхом висотою .)n ( n - 1 ) × ( n - 1 ) ( 0 , 0 ) ( n - 1 , n - 1 ) ↑ $n$$(n-1) \times (n-1)$$(0,0)$$(n-1,n-1)$$\uparrow$$\rightarrow$Б n ч ч ч ч - $B_{nh}$$h$$h$$h-1$

Не втрачаючи загальності, я припускаю, що вони починаються з (значить, залишаються вище діагоналі). Для кожного шляху я вважаю перший крок, що перетинає пряму , якщо така є. З точки вгорі, аж до початку, я в і навпаки (це відображення wrt лінії ). Стає очевидним, що шляхи, які я хочу порахувати ( ), знаходяться в біекції з монотонними шляхами від до які уникають меж і . (Див. Рисунок .)↑ y = x + h - 1 ↑ $\uparrow$$y = x + h - 1$$\uparrow$$\rightarrow$y = x + h B n h ( - h , h ) ( n - 1 , n - 1 ) y = x + 2 h + 1 y = x - $y=x+h$$B_{nh}$$(-h,h)$$(n-1,n-1)$$y=x+2h+1$$y=x-1$

У класичній книзі Підрахунок і застосування гратчастого шляху Моханті (1979, стор. 6) формула підраховує кількість монотонних шляхів у решітці від до , які уникають меж і , при і . (Цей результат був вперше встановлений російськими статистиками у 50-х роках.) Тому, розглядаючи нове походження в , ми задовольняємо умовам формули: ,∑ k ∈ Z [ ( m + nm - k ( t + s ) ) - ( m+n)n + k ( t + s ) + t ) ],(0,0)(m,n)y=x-ty=x+st>0s>0(-h,h)s=1t=2год+

$$\sum_{k \in \mathbb{Z}} \left[\binom{m+n}{m-k(t+s)} - \binom{m+n}{n+k(t+s)+t}\right],$$ $(0,0)$$(m,n)$$y = x - t$$y = x + s$$t > 0$$s > 0$$(-h,h)$$s=1$$t=2h+1$і точка призначення (верхній правий кут) зараз . Тоді Це можна спростити в що, в свою чергу, еквівалентно Різниця від очікуваної формули полягає в тому, що я сумую над непарними числами ( ) замість усіх натуральних чисел ( ).$(n+h-1,n-h-1)$ $$B_{nh} = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \left[\binom{2n-2}{n+h-1-k(2h+2)} - \binom{2n-2}{n-h-1+k(2h+2) + 2h+1}\right].$$ $$B_{n+1,h-1} = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \left[\binom{2n}{n+1-(2k+1)h} - \binom{2n}{n-(2k+1)h}\right],$$ $$B_{n+1,h-1} = \sum_{k \geqslant 0} \left[\binom{2n}{n+1-(2k+1)h} - 2\binom{2n}{n-(2k+1)h} + \binom{2n}{n-1-(2k+1)h}\right].$$ $2k+1$$k$

Будь-яка ідея, де проблема?

Монотонні шляхи від ( - h , h ) до ( n - 1 , n - 1 ), які ви будуєте лише уникайте межі y = x + 2 h + 1, перш ніж вони вперше перетнуть y = x + h . Таким чином, формула, яку ви використовуєте, не застосовується.$(−h,h)$$(n−1,n−1)$$y=x+2h+1$$y=x+h$