Умови планарності для Planar 1-в-3 SAT

Планар 3SAT завершено NP. Планарний екземпляр 3SAT - це екземпляр 3SAT, для якого графік, побудований за допомогою таких правил, є планарним:

додати вершину для кожного $x_i$ та $\bar{x_i}$
додати вершину для кожного пункту $C_j$
додайте край для кожної пари $(x_i,\bar{x_i})$
додайте край вершини (або ) до кожної вершини, що представляє собою пункт, який містить її $x_i$ $\bar{x_i}$
додайте ребра між двома послідовними змінними $(x_1,x_2),(x_2,x_3),...,(x_n,x_1)$

Зокрема, правило 5 створює "кістяк", який розбиває пункти на два різних регіони.

Планарний 1-в-3 SAT теж NP-комплект.

Але для планарного 1-у-3 SAT умови планарності визначені так само, як і у Planar 3SAT? Зокрема, чи можна вважати, що існує хребет, що пов'язує змінні ? $(x_i,x_{i+1})$

— Vor
джерело

Про всяк випадок, якщо хтось буде шукати папір, де вони виявляють твердість Planar 1-in-3SAT (менш міцна версія). Ось посилання: dl.acm.org/citation.cfm?doid=1137856.1137859 З їх доказів видно, що вимога "хребет" легко виконується.

— sud03r

Так, ти можеш. Насправді ви навіть можете показати, що щось сильніше - це правда. Проблема знає, що позитивний планар 1-в-3-SAT є NP-повним, як показали Mulzer та Rote .

У цій версії 1-в-3-SAT вам потрібно для кожної формули введення

у вас є три змінні в одному пункті, жодна з них не заперечується
графік формули є планарним, навіть якщо ви додасте "хребет" між змінними вершинами

Скорочення відбувається від Planar 3-SAT .

— А.Шульц
джерело