Найменш загальний нероздільник

В основному проблема полягає в тому, що для набору додатних чисел знайдіть мінімальне число яке не є дільником жодного елемента , тобто .$S$$d$$S$$\forall x \in S,\ d \nmid x$

Позначимо $n = |S|$і $C = \max(S)$ . Розглянемо функцію $F(x) =$ найменше просте число, яке не ділить $x$ . Неважко помітити, що $F(x) \leq \log x$ . А для безлічі $S$ , нехай $F(S) =$ найменше просте число , що не поділяє який - або елемент $S$ . У нас верхня межа

Тому простий алгоритм грубої сили, який перераховує всі числа від $1$ до $n \log C$ і перевіряє, чи не він розділяє жоден елемент $S$ , є многочленом і має часову складність $O(n^2 \log C)$ .

Інший спосіб вирішити проблему - обчислити всі фактори для кожного елемента $S$ та використовувати їх у алгоритмі грубої сили, щоб перевірити, чи відповідає $x$ у відповідь $O(1)$ . Цей алгоритм має складність часу $O(n \cdot \min (\sqrt{C}, n \log C) + n \log C)$ і використовує $O(n \log C)$ пам'ять, оскільки нам не потрібно обчислювати і магазин факторів більше , ніж $n \log C$ . Для малих $n$ і $C$ вона працює краще.

Детально алгоритм складається з двох частин:

1. Побудуйте набір $\hat{S}$ складається з усіх факторів усіх елементів $S$ , тобто

   $$\forall x \in S\ \forall f \le n \cdot \log C, \ (f \mid x \rightarrow f \in \hat{S})$$ Це можна зробити за час $O(n \cdot \min (\sqrt{C}, n \log C))$ та $O(n \log C)$ . (Звідки це походить? Для будь-якого елемента $S$ ми можемо його розмістити за допомогою пробної факторизації з усіма числами до $\sqrt{C}$ або всіх простих чисел до $n \log C$ , залежно від того, що менше; тому кожен елемент $S$ може бути враховано за часом $O(\min (\sqrt{C}, n \log C))$ .)

2. Знайдіть мінімальну кількість . Цей крок вимагає часу , якщо перевірити, чи можна виконати за час.$d \notin \hat{S}$$O(|\hat{S}|) = O(n \log C)$$x \in \hat{S}$$O(1)$

У мене є два питання, які мене цікавлять:

1. Чи існує швидший алгоритм вирішення проблеми?
2. Як задано і , як можна побудувати множину з максимальним найменш спільним нероздільником?$n$$C$$S$

Можна вдосконалити свій другий алгоритм, використовуючи кращі алгоритми для цілочислової факторизації.

Тут є два алгоритми цілочислової факторизації:

• GNFS може множити ціле число з часом роботи .$\le C$$O(L_C[0.33,1.92])$

• ECM може знайти коефіцієнти (якщо такі є) із часом виконання ; знаходження всіх факторів займе разів довше (що порівняно мало в порівнянні з часом роботи ECM).$\le n \log C$$O(L_{n \log C}[0.5,1.41])$$O(\log C / \log(n \log C))$

Тут .$L_n[\alpha,c] = \exp\{c (\log n)^\alpha (\log \log n)^{1-\alpha}\}$

Це досить жахливий вираз за час роботи, але важливим фактом є те, що це швидше, ніж згадані вами методи. Зокрема, асимптотично набагато менший ніж , тобто GNFS набагато швидше, ніж спроба всіх можливих факторів . Також асимптотично значно менше , тобто ECM набагато швидше , ніж намагатися всі можливі чинники .$L_C[0.33,1.92]$$\sqrt{C}$$\le \sqrt{C}$$L_{n \log C}[0.5,1.41]$$n \log C$$\le n \log C$

Отже, загальний час роботи для цього методу приблизно , і це асимптотично краще, ніж ваш перший метод і асимптотично кращий, ніж ваш другий метод. Я не знаю, чи можна зробити ще краще.$\tilde{O}(n \min(L_C[0.33,1.92], L_{n \log C}[0.5,1.41]))$

Найменш поширений нероздільник може бути таким же великим, як N log C, але якщо N чисел розподілено випадковим чином, то найменший звичайний нероздільник, ймовірно, набагато менший, можливо, набагато менше, ніж N. Я буду будувати таблиці, з яких прайми - це дільники, числа яких.

На кожне просте число p у нас є індекс який означає, що всі числа до цього індексу були перевірені на подільність на p, і у нас є список усіх тих чисел, на які ділилися.$k_p$

Тоді для d = 2, 3, 4, ... ми намагаємось знайти число, що ділиться на d, або показуємо, що його немає. Беремо найбільший простий коефіцієнт p d. Потім перевіряємо всі числа, які були ділими на p, чи вони також діляться на d. Якщо жодного не знайдено, ми перевіряємо подальші числа з індексами> на подільність на p, оновлення та список чисел, що ділиться на p, і перевіряємо, чи кожне число ділиться на d.$k_p$$k_p$

Щоб перевірити, чи є число, розділене на p, ми перевіряємо середні p числа. Пізніше, якщо ми перевіримо, чи є число, яке ділиться на 2p, є 50% шансів, що нам потрібно перевірити лише одне число (те, яке ділиться на p), і 50% шанс перевірити в середньому на 2p більше чисел. Знайти число, що ділиться на 3p, цілком ймовірно, швидко і так далі, і ми ніколи не перевіряємо більше, ніж N чисел на подільність на p, оскільки є лише N числа.

Я би сподівався, що це вийде з приблизно перевірок на роздільність.$N^2 / log N$

PS. Наскільки великим був би результат для випадкових чисел?

Припустимо, у мене є N випадкових чисел. Ймовірність того, що одне з N чисел ділиться на d, дорівнює 1 - (1 - 1 / d) ^ N. Я припускаю, що ймовірність того, що кожне з чисел 1 ≤ d ≤ k є коефіцієнтом одного з випадкових чисел, обчислюється шляхом множення цих ймовірностей (Ок, це трохи хиткий характер, оскільки ці ймовірності, ймовірно, не зовсім незалежні).

З таким припущенням, що при N = 1000 є 50% шансів, що одне з чисел 1..244 не розділить жодне число, а одне на мільярд, що кожне число до 507 ділить одне з чисел. З N = 10000 є 50% шансів, що одне з чисел 1..1726 не розділить жодне число, і одне на мільярд, що кожне число до 2979 ділить одне з чисел.

Я б запропонував, що для N випадкових входів розмір результату трохи більший, ніж N / ln N; можливо щось на кшталт N / ln N * (ln ln N) ^ 2. Ось чому:

Імовірність того, що щонайменше один з N випадкових чисел діляться на випадковий д становить . Якщо d - навколо N, то - приблизно 1 - exp (-1) ≈ 0,6321. Це для одного дільника; ймовірність того, що кожне з декількох чисел d ≈ N є дільником принаймні одного з N чисел, досить тонкі, тому максимальне d буде значно меншим за N.$1 - (1 - 1/d)^N$$1 - (1 - 1/d)^N$

Якщо d << N, то .$1 - (1 - 1/d)^N ≈ 1 - exp (-N / d)$

Якщо d ≈ N / N , то пер .$1 - exp (-N / d) ≈ 1 - exp (- ln N) = 1 - 1/N$

Ми б додали ці ймовірності приблизно для N / ln N значень d, але для більшості d результат буде значно більшим, тому найбільший d буде якось більшим, ніж N / ln N, але значно менший за N.

PS. Пошук числа, що ділиться на d:

Вибираємо найбільший простий коефіцієнт p d, а потім спочатку вивчаємо числа, які, як відомо, ділилися на p. Скажіть d = kp. Тоді ми в середньому перевіряємо лише k числа, які поділяються на p, перевіряючи цей конкретний d, і перевіряємо не більше всіх N значень на подільність на p загалом, для всіх d ділимо на p. Власне, ми, швидше за все, перевіряємо менше N значень для більшості простих ліній p, оскільки після перевірки всіх N значень алгоритм, швидше за все, закінчується. Отже, якщо результат R, то я очікую, що менше N значень ділиться на кожне просте менше, ніж R. Якщо припустимо, R ≤ N, це приблизно N ^ 2 / log N перевірок.

PS. Запуск деяких тестів

Я кілька разів запускав цей алгоритм з N = 1 000 000 випадкових чисел> 0. Найменше поширений нероздільник був між 68 000 і 128 000, при цьому переважна більшість пробігів становить від 100 000 до 120 000. Кількість підрозділів становила від 520 до 1800 мільйонів, що набагато менше (N / ln N) ^ 2; більшість випадків використовували між 1000 і 1500 мільйонами підрозділів.