Чи є якісь конкретні проблеми, які, як відомо, не можна визначити з інших причин, ніж діагоналізація, самонавіювання чи скорочення?

Кожна нерозв'язна проблема, яку я знаю, відноситься до однієї з наступних категорій:

1. Проблеми, які не можна визначити через діагоналізацію (непряма самонавіювання). Ці проблеми, як і проблема зупинки, є нерозв'язними, оскільки ви можете використовувати розроблене рішення для мови для побудови TM, поведінка якого призводить до суперечності. Ви також можете зіткнутися з багатьма невирішеними проблемами щодо складності Колмогорова в цей табір.

2. Проблеми, які не можна визначити через безпосереднє самонавіювання. Наприклад, універсальна мова може бути невизначеною з наступної причини: якби її можна було вирішити, тоді можна було б використати теорему про рекурсію Kleene для побудови ТМ, що отримує власне кодування, запитати, чи прийме він власний внесок , то робить навпаки.

3. Проблеми, які не можна визначити через скорочення існуючих невирішених проблем. Хорошими прикладами тут є проблема кореспонденції (скорочення від проблеми зупинки) та проблема Entscheidungsproblem.

Коли я викладаю теорію обчислюваності своїм студентам, багато студентів також вирішують це питання і часто запитують мене, чи є якісь проблеми, які ми можемо довести, що вони не можна визнати, не врешті-решт, повертаючись до якоїсь хитрості самонавіювання. Я можу довести неконструктивно, що існує нескінченно багато нерозв'язних проблем простим аргументом про кардинальність, що стосується кількості ТМ до кількості мов, але це не дає конкретного прикладу нерозбірливої ​​мови.

Чи існують мови, які, як відомо, не можна визначити з причин, які не вказані вище? Якщо так, то що вони і які методи використовували, щоб виявити їх нерозбірливість?

Так, є такі докази. Вони засновані на теоремі низьких основ .

Дивіться цей відповідь на є якесь - або доказ нерозв'язність проблеми зупинки , яка не залежить від автореферентності або діагонального? питання про cteheory для більше.

це не зовсім ствердна відповідь, а спроба щось поруч із тим, про що вимагається через творчий кут. Зараз у фізиці існує досить багато проблем, які "далекі" від математичних / теоретичних формулювань нерозбірливості, і вони здаються все більш "віддаленими" від оригінальних формулювань, що стосуються проблеми зупинки тощо, "мало схожі на"; звичайно, вони використовують проблему зупинки в корені, але ланцюги міркувань стають все більш віддаленими, а також мають сильний "прикладний" аспект / характер. на жаль, поки що, здається, ще не було великих досліджень у цій галузі. недавня проблема, яка "напрочуд" виявилася нерозв'язною у фізиці, яка привернула багато уваги:

• Нерозбірливість спектральної щілини / Кубітт, Пер-Гарсія, Вольф

Спектральний розрив - різниця в енергії між основним станом і першим збудженим станом системи - є центральним для квантової фізики багатьох тіл. Багато складних відкритих проблем, такі як гальданівська гіпотеза, питання про існування розривних топологічних спінових рідких фаз та гіпотези Ян-Міллза, стосуються спектральних прогалин. Ці та інші проблеми є окремими випадками загальної проблеми спектрального розриву: враховуючи, що це гамільтоніан квантової системи багатьох тіл, це розрив чи безперервність? Тут ми доводимо, що це нерозв'язна проблема. Зокрема, ми побудуємо сімейства квантових спінових систем на двовимірній решітці з поступально інваріантними взаємодіями найближчих сусідів, для яких проблема спектрального розриву не може бути вирішена. Цей результат поширюється на невизначуваність інших властивостей низької енергії,

те, що ви, начебто, зауважуєте в питанні, - це те, що доводи (неофіційно) не визначуваності мають певну "самореференційну" структуру, і це було офіційно доведено в ще більш розвиненій математиці, так що і проблема зупинки Тьюрінга, і теорема Годельса можуть розглядатися як випадки одного і того ж основного явища. див. наприклад:

• Проблема зупинки, незрівнянні множини: загальний математичний доказ?

Теорема зупинки, теорема Кантора (неізоморфізм множини та її набір потужностей) та теорема про незавершеність Геделя є всіма прикладами теореми фіксованої точки Ловевера, яка говорить, що для будь-якої декартової закритої категорії, якщо є епіморфна карта e: A → (A⇒B), то кожен f: B → B має фіксовану точку.

Існує також тривала медитація на цю тему (внутрішньої?) взаємопов'язаності самореференційності та нерозбірливості в книгах Хофстадтера. Інша сфера, де результати невизначеності є загальними і спочатку були дещо "дивними", - це фрактальні явища. перехресна поява / значення нерозбірливих явищ у всій природі є майже визнаним фізичним принципом у цій точці, вперше спостерігається Вольфрамом як "принцип обчислювальної еквівалентності" .