Проблема зупинки, незрівнянні множини: загальний математичний доказ?

Відомо, що за допомогою лічильного набору алгоритмів (характеризується числом Геделя) ми не можемо обчислити (побудувати бінарний алгоритм, який перевіряє приналежність) всіх підмножин N.

Доказ можна звести так: якби ми могли, то набір усіх підмножин N був би підрахунковий (ми могли б пов’язати з кожним підмножиною номер Gödel алгоритму, який його обчислює). Оскільки це помилково, це доводить результат.

Це доказ, який мені подобається, оскільки він показує, що проблема еквівалентна тому, що підмножини N не піддаються обліку.

Тепер я хотів би довести, що проблема зупинки не вирішена, використовуючи лише цей самий результат (незліченність N підмножин), тому що я думаю, що це дуже близька проблема. Чи можна це довести таким чином?

computability halting-problem

— Вейє
джерело

Очевидно, що обидва результати можна довести, використовуючи одну і ту ж техніку (діагоналізація). Однак я не думаю, що неможливо довести нерозбірливість проблеми, що зупиняється, лише використовуючи незліченність сімейства підмножин the, оскільки перше стосується порівняння між RE та R , обидва з яких є підрахунковими сім'ями підмножини ℕ.

— Цуйосі Іто

Існує лише багато програм, що мають доступ до оракула, що зупиняється, знову характеризується номером Годеля. Однак проблема зупинки є серед цієї лічильної множини.

— Девід Харріс

Теорема зупинки, теорема Кантора (неізоморфізм множини та її набір потужностей) та теорема про незавершеність Геделя є всіма прикладами теореми фіксованої точки Ловевера, яка говорить, що для будь-якої декартової закритої категорії, якщо є епіморфна карта то кожен має фіксовану точку. $e : A \to (A \Rightarrow B)$ $f : B \to B$

Ловевер, Ф. Вільям. Діагональні аргументи та декартові закриті категорії . Конспекти лекцій з математики, 92 (1969), 134-145.

Щоб приємно ознайомитись із цими ідеями, дивіться у цій публікації блогу Андрія Бауера .

— Ніл Кришнасвамі
джерело

це досить акуратно. Я не усвідомлював, що існує фактичний офіційний аргумент, що їх об'єднує.

— Суреш Венкат

Я вже навчився підозрювати, що, якщо воно виглядає однаково і пахне тим самим, є категоричний аргумент щодо того, в якому сенсі він однаковий.

— Vijay D

ІМО, дві дійсно приємні речі теореми Ловевера полягають у тому, що (а) це позитивне твердження, а не негативне, і (б) доказом є півдесятка рядків простих обчислень лямбда-числення.

— Ніл Крішнасвамі

Читаючи питання, я думав собі, що хтось повинен згадати теорему про фіксовану точку Лоувера. Уявіть моє захоплення, коли я прочитав відповідь :-)

— Андрій Бауер

Бути епіморфним не є правильною умовою. Вам потрібна точкова сюрєктивність, яка ні має на увазі, ні має на увазі умову бути епіморфною. Дивіться зауваження 2.3 ncatlab.org/nlab/show/Lawvere%27s+fixed+point+theorem

— fhyve