Визначення PTAS проти FPTAS

З того, що я прочитав у preliminary version of a chapter of the book “Lectures on Scheduling” edited by R.H. M¨ohring, C.N. Potts, A.S. Schulz, G.J. Woeginger, L.A. Wolsey, to appear around 2011 A.D.

Це визначення PTAS :

Поліноміальна схема наближення часу ( PTAS ) для задачі - це схема наближення, часова складність якої є поліномом у вхідному розмірі.$X$

та визначення FPTAS

Поліноміальна схема наближення часу ( FPTAS ) для задачі - це схема апроксимації, часова складність якої є поліном у вхідному розмірі, а також поліном в 1 / ϵ .$X$$\epsilon$

Тоді письменник каже:

Отже, для PTAS було б прийнятно мати часову складність, пропорційну де | Я | - розмір введення, хоча ця часова складність експоненціальна в 1 / ϵ . FPTAS не може мати часову складність, яка експоненціально зростає на 1 / ϵ, але часову складність, пропорційну | Я | 8 / ϵ 3 було б добре. Що стосується найгіршого наближення, FPTAS - це найсильніший можливий результат, який ми можемо отримати для важкої проблеми з NP.$|I|^{1/\epsilon}$$|I|$$1/\epsilon$$1/\epsilon$$|I|^8/\epsilon^3$

Потім він запропонував наступну фігуру, щоб проілюструвати взаємозв'язки між класами проблем:

Ось мої запитання:

1. З визначення PTAS та FPTAS , як автор робить висновок, що FPTAS не може мати часову складність, яка експоненціально зростає в ? і яка різниця, якщо вона може мати таку часову складність?$1/\epsilon$

2. Часова складність на зразок є прийнятною для FPTAS, але це не для PTAS , то чому FPTAS вважається підмножиною PTAS ?$(n+1/\epsilon)^3$

3. Що він має на увазі під собою: FPTAS - це найсильніший можливий результат, який ми можемо отримати для важкої проблеми з NP.

4. У сукупності я хотів би знати, що саме означають ці поняття та які їх особливості.

Заздалегідь спасибі.

Дозвольте мені відповісти на ваші запитання, щоб:

1. За визначенням, проблема має FPTAS, якщо існує алгоритм, який в екземплярах довжини $n$ дає апроксимацію $1+\epsilon$ і працює у часі поліном у $n$ та $1/\epsilon$ , тобто $O((n/\epsilon)^C)$ для деяка константа $C \geq 0$ . Працюючий час $2^{1/\epsilon}$ не належить $O((n/\epsilon)^C)$ для будь-якого $C$ .
   Алгоритм, час роботи якого $O((n/\epsilon)^C)$ є кращим, ніж алгоритм, час роботи якого гарантовано лише $O(n^C e^{D/\epsilon})$ , оскільки залежність від $\epsilon$ краще для першого алгоритму. Крім того, для будь-якого $E$ ми можемо знайти $1+1/n^E$ апроксимацію в многочленному часі, використовуючи перший алгоритм, але не використовуючи другий (принаймні, не з даною гарантією).

2. Проблема, при якій $1+\epsilon$ -приближення може бути знайдено в часі $(n+1/\epsilon)^3$ , безумовно, є в PTAS, оскільки для кожного $\epsilon$ це $O(n^3)$ (вправа) і так багаточлен у $n$ .

3. Що тут мали на увазі автори, це те, що, оскільки завдання оптимізації жорсткої NP не може бути вирішена саме в поліноміальний час, найкраще, на що ми можемо сподіватися, - це $\epsilon$ -приблизна в поліноміальний час і, крім того, з хорошою залежністю від $\epsilon$ . Серед загальних класів складності FPTAS дає найсильнішу гарантію залежності від $\epsilon$ . Але на практиці ми іноді отримуємо ще кращу гарантію: час роботи багаточлен у $n$ та $\log(1/\epsilon)$. Тому не зовсім вірно, що FPTAS - це найсильніший можливий результат; це лише найсильніший можливий результат серед варіантів PTAS, FPTAS, P. Якби ми склали новий клас LPTAS (відповідний поліному часу в $n$ та $\log(1/\epsilon)$ ), то це було б більш надійною гарантією.

4. Враховуючи проблему оптимізації з жорсткою NP, її неможливо вирішити точно в поліноміальний час; найкраще, на що можна сподіватися, - це наблизити його ефективно. Деякі проблеми важко наблизити до деякої постійної $C>1$ . Для інших можна задати задачу довільно добре в поліноміальний час, і ці проблеми мають PTAS і так належать до класу PTAS. Можливо, що $1+\epsilon$ -приближення вимагає часу, пропорційного $e^{1/\epsilon}$ , і тому ми можемо ефективно застосовувати це лише для константи $\epsilon$ . Якщо проблема має FPTAS (і так належить до класу FPTAS), то ми знаємо, що залежність від $\epsilon$тільки поліном, і тому ми можемо апроксимувати ефективно в межах $1+1/n^C$ для будь-якого $C$ .

$|I|=n$$\epsilon$$n^{1/\epsilon}$$n$$\epsilon$$\epsilon$$1/\epsilon$$n$$\mathrm{poly}(n,1/\epsilon)$$n^4 (1/\epsilon)^3 + (1/\epsilon)^8$$n^{1/\epsilon}$$n$$1/\epsilon$