Скільки триває рекурсія Колатца?

19

У мене є наступний код Python.

def collatz(n):
    if n <= 1:
        return True
    elif (n%2==0):
        return collatz(n/2)
    else:
        return collatz(3*n+1)

Який час роботи цього алгоритму?

Спробуйте:

Якщо позначає час виконання функції . Тоді я думаю, що у мене $T(n)$ collatz(n)

{\begin{cases} T (n) = 1 for n \leq 1 \\ T (n) = T (n / 2) for n even \\ T (n) = T (3 n + 1) for n odd \end{cases}

$\begin{cases} T(n)=1 \text{ for } n\le 1\\ T(n)=T(n/2) \text{ for } n\text{ even}\\ T(n)=T(3n+1) \text{ for } n\text{ odd}\\ \end{cases}$

Я думаю, що буде якщо є рівним, але як обчислити повторність взагалі? $T(n)$ $\lg n$ $n$

algorithm-analysis runtime-analysis recurrence-relation

— 9бі7
джерело

4

Це має бути

тощо. +1 важливий, інакше у вас

, для всіх

для яких послідовність завершується.

T (n) = T (\frac{n}{2}) + 1

$T(n) = T(\frac n2) + 1$

T (n) = 1

$T(n) = 1$

n

$n$

— користувач253751

2

54 рівномірний, T (54) = 112! =

— Lg

Чи передбачається, що користувач буде вводити лише цілі числа?

— Дін Макгрегор

@DeanMacGregor Так. Насправді, додатне ціле число передбачається.

— сутінки

більше корисної інформації про кг буде корисною. звідки ви взяли код, як вас познайомили? це напіввідома відкрита проблема в теорії чисел, невирішеної протягом ~ ¾ століття, на якій написана ціла книга Лагарія. з CS pov, що доводить, що це в будь-якому часі або просторі клас складності еквівалентний доказу. багато більше рефов тут . також чудова тема для Computer Science Chat для всіх, хто цікавиться. також є collatzтег на MathOverflow тощо. Останні дослідження показують, що проблема має властиві фрактальні якості, що робить її важкою.

— vzn

29

Це здогад Коллаца - досі відкрита проблема.
Концепція - це доказ того, що ця послідовність зупиняється на будь-якому введенні, оскільки це не вирішено, ми не знаємо, як вирішити це відношення періодичності виконання, більше того, воно може взагалі не зупинитися - тому, поки не доведено, час роботи невідомий і може бути . $\infty$

— Зло
джерело

Спасибі. Але моя рекурсія правдива, правда? Якщо так, то ми все ще не можемо знайти рішення для цієї рекурсії?

— 9бі7

Що ви маєте на увазі під "рекурсією правдивою"? Ви не можете знайти час бігу, але для багатьох цифр це зробить деяку кількість стрибків і дістанеться до 1.

означає не час виконання, а саму функцію.

T (n)

$T(n)$

— Зло

Під правильним я мав на увазі, наприклад, як у сортуванні злиття, ми можемо отримати

T (n) = 2 T (n / 2) + O (n)

$T(n)=2T(n/2)+O(n)$

7

"оскільки це не вирішено, немає верхньої межі" - ми повинні бути обережними з мовою тут. Ми не знаємо рішення цього повторення, кінця історії.

— Рафаель

7

Так. Але "ми не знаємо" не те саме, що "немає верхньої межі". В основному, я розщеплюю волоски над математичним "є" (

\exists

$\exists$

15

Ви правильно перевели код . Існує багато методів вирішення рецидивів .

Однак наразі невідомо, чи collatzнавіть зупиняється для всіх n; твердження про те, що це є, відоме як здогад Колатца . Тому жоден відомий метод не буде працювати над цим рецидивом.

Я думаю, що $T(n)$ $\lg n$ $n$

Як так? Я думаю, ви думаєте про $n=2^k$ $\Theta$

— Рафаель
джерело

13

Функція часової складності є

{\begin{cases} Т (н) = О (1) для н \leq 1 \\ Т (н) = Т (н / 2) + О (1) для н навіть \\ Т (н) = Т (3 н + 1) + О (1) для н дивно \end{cases}

$\begin{cases} T(n)= O(1) \text{ for } n\le 1\\ T(n)=T(n/2) + O(1) \text{ for } n\text{ even}\\ T(n)=T(3n+1) + O(1)\text{ for } n\text{ odd}\\ \end{cases}$

які можна переписати наступним чином, якщо вас цікавить асимптотична часова складність.

{\begin{cases} T (n) = 1 for n \leq 1 \\ T (n) = T (n / 2) + 1 for n even \\ T (n) = T (3 n + 1) + 1 for n odd \end{cases}

$\begin{cases} T(n)= 1 \text{ for } n\le 1\\ T(n)=T(n/2) + 1 \text{ for } n\text{ even}\\ T(n)=T(3n+1) + 1\text{ for } n\text{ odd}\\ \end{cases}$

$\langle M,1^n\rangle \in Halt$ $n$ $n$ . Також зверніться до /math/2694/what-is-the-importance-of-the-collatz-conjecture .

Гіпотеза Колатца - дуже відома гіпотеза, яку Колац запропонував у 1937 році. Багато видатних математиків витратили (читали даремно) незліченну кількість годин, намагаючись вирішити цю гіпотезу, але безрезультатно. Навіть Пол Ерд сказав про здогадку Колатца: "Математика ще не готова до таких проблем".

— Shreesh
джерело

1

"даремно" - це суб'єктивне судження. Дивіться експертний аналіз Лагарія з причин, через які роботу / часткові результати на гіпотезі можна вважати "не витраченими". також цитата Ердоса, мабуть, за кілька десятиліть, і математика значно прогресувала з тих пір, і продовжує ... і, ймовірно, не всі нові математичні прийоми були спроби проти цієї проблеми.

— vzn

Це був язик у щоці коментаря. (Справедливо кажучи, я поклав це всередину дужок, чи не так). Поки проблема не вирішена, всі зусилля здаються марними, але як тільки вона вирішена, ви бачите, як навіть невдачі призвели до її вирішення. І я не згоден з вами, що математика значно прогресувала; Технологія значно прогресувала, але фізика, математика і навіть інформатика прогресують повільно, і саме так і має бути (я можу це сказати, тому що я, хто навчився мотузки 30 років тому, все ще не відчуваю себе застарілим).

— Шрееш

3 x + 1

$3x+1$

Лагаріас написав / склав / відредагував цілу книгу на цю тему, і це звучить «вибачливо» щодо вивчення проблеми? Лол! зовсім навпаки . проте, погодившись / поступившись, він займає оборонну позицію, тому що багато інших математиків не вважають проблему важливою або вагомою великої атаки / зусиль (і зауважте, що Гаусс відчував точно так само щодо Fermats Last Thm!). але є маса інших випадків, коли топ-математики сприймають це абсолютно серйозно, наприклад, Дао для одного.

— vzn

2

$n$ $odd$ $n$ $3n+1$

$T(n) = 2T(n/2) +n$ $T(0)$ $T(1)$ головна теорема .

$3n+1$

— Сорроп
джерело

0

У вас T (n) = T (n / 2) + 1, якщо n парне. Але тоді n / 2, швидше за все, навіть не є, тому ви застрягли там.

Що трапляється, що маленькі приємні правила, які ви дізналися, стикаються з реальною проблемою, і вони не працюють. Вони вдаряються в цегляну стіну, обличчям спочатку, і це боляче. Зробіть собі послугу і виконайте рекурсію для T (7) вручну, і тоді ви скажете, чи все ще вважаєте, що це пов'язано lg n.

Якщо ви думаєте, що це не пов’язано з початковим запитанням, оскільки 7 не парне: коли n є непарним, T (n) = T (3n + 1), а 3n + 1 - парне, тож якщо T (n) був журналом n, якщо n парне, воно буде log (3n + 1) + 1, коли n> 1 непарне.

— gnasher729
джерело