Обґрунтований доказ справедливості припущення

Теорема Майстра - прекрасний інструмент для вирішення певних видів рецидивів . Однак ми часто замальовуємо невід'ємну частину під час її нанесення. Наприклад, під час аналізу Мергесорта ми із задоволенням їдемо

$\qquad T(n) = T\left(\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor\right) + T\left(\left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil\right) + f(n)$

до

$\qquad T'(n) = 2 T'\left(\frac{n}{2}\right) + f(n)$

враховуючи лише . Ми запевняємо, що цей крок дійсний - тобто - тому що поводить себе "красиво". Загалом, вважаємо, що для загальний знаменник. $n=2^k$ $T \in \Theta(T')$ $T$ $n=b^k$ $b$

Легко побудувати рецидиви, які не дозволяють цього спрощення за допомогою порочного . Наприклад, вище повторення для / з $f$ $T\,$ $\,T'$

$\qquad f(n) = \begin{cases} 1 &, n=2^k \\ n &, \text{else} \end{cases}$

вийде , використовуючи головну теорему звичайним способом, але, очевидно, є підпорядкованість, яка зростає як . Дивіться тут ще один, більш надуманий приклад. $\Theta(n)$ $\Theta(n \log n)$

Як ми можемо зробити це "приємно" суворим? Я цілком впевнений, що монотонність є достатньою, але навіть не просте повторення Мергесорта є монотонним; є періодичний компонент (який переважає асимптотично). Чи достатньо досліджувати , і які необхідні та достатні умови на які забезпечують роботу магістерської теореми? $f$ $f$

— Рафаель
джерело

Інший результат таких же результатів - теорема Акра-Бацци "Про рішення лінійних рівнянь повторення", обчислювальна оптимізація та додатки, 10 (2), 195-210 (1998), або Дрмота і Шпанковський "Основна теорема дискретного поділу і підкорити повторення ", SODA'11 < dl.acm.org/citation.cfm?id=2133036.2133064 >.

— vonbrand

Ось посилання на вищезгаданий документ, який не знаходиться за платною стіною.

— Пареш

IIRC про це йдеться в розділі 4. CLRS

— Kaveh

@Kaveh Дякую за вказівник. Здебільшого вони називають це "терпимою неохайністю"; це добре в їхньому контексті, тому що вони припускають, що ви виводите лише гіпотезу, пізніше, за допомогою індукції, виправдані. Вони згадують про небезпеку (4.6). У 4.6.2 вони дають доказ, але це на високому рівні, і вони прямо не говорять про те, які обмеження щодо повинні бути встановлені. Тож, здається, щось на кшталт " таке, що математика проходить", що, на мою думку, в основному вимагає, щоб мав "приємний" -клас.

T

$T$

T

$T$

f

$f$

Θ

$\Theta$

— Рафаель

У загальному випадку, коли у вас немає подібних розмірів, ви можете використовувати метод Акра – Бацци, який є узагальненням основної теореми, переконайтеся, що для зміни конкретної функції на те, що працює в цій теоремі, потрібна невелика хитрість, а для чогось подібного сортування злиття, саме це зазвичай використовують люди, щоб довести складність у часі.

У цій відповіді ми припускаємо, що і є негативними. Наше доведення працює, коли для деякого монотонного . Сюди входить ваш приклад Mergesort, у якому , і будь-яка функція, яка має поліномічну швидкість росту (або навіть ). $f$ $T$ $f = \Theta(g)$ $g$ $f=\Theta(n)$ $\Theta(n^a \log^b n)$

Розглянемо спочатку випадок, що монотонно не зменшується (це припущення ми розслабимо пізніше). Ми сконцентруємося на вашому повторенні вибірки Цей рецидив потребує двох базових випадків, і . Ми робимо припущення, що $f$

T (n) = T (⌊ n / 2 ⌋) + T (⌈ n / 2 ⌉) + f (n) .

$T(n) = T(\lfloor n/2 \rfloor) + T(\lceil n/2 \rceil) + f(n).$

T (0)

$T(0)$

T (1)

$T(1)$

, за яким ми також пізніше розслабимось.

T (0) \leq T (1)

$T(0) \leq T(1)$

Я стверджую, що є монотонним не спадаючим. Доведемо повною індукцією, що . Це задано для , тому нехай . Маємо $T(n)$ $T(n+1) \geq T(n)$ $n = 0$ $n \geq 1$ З цього випливає, що Отже, якщо

\begin{aligned} T (n + 1) & = T (⌊ (n + 1) / 2 ⌋) + T (⌈ (n + 1) / 2 ⌉) + f (n + 1) \\ \geq T (⌊ n / 2 ⌋) + T (⌈ n / 2 ⌉) + f (n) = T (n) . \end{aligned}

$\begin{align*} T(n+1) &= T(\lfloor (n+1)/2 \rfloor) + T(\lceil (n+1)/2 \rceil) + f(n+1) \\ &\geq T(\lfloor n/2 \rfloor) + T(\lceil n/2 \rceil) + f(n) = T(n). \end{align*}$

T (2^{⌊ \log_{2} n ⌋}) \leq T (n) \leq T (2^{⌈ \log_{2} n ⌋}) .

$T(2^{\lfloor \log_2 n \rfloor}) \leq T(n) \leq T(2^{\lceil \log_2 n \rfloor}).$

, ми закінчили. Це завжди так, якщо рішення для степенів двох має вигляд

T (2^{m}) = Θ (T (2^{m + 1}))

$T(2^m) = \Theta(T(2^{m+1}))$

T (n) = Θ (n^{a} \log^{b} n)

$T(n) = \Theta(n^a \log^b n)$

$T(0) \leq T(1)$ $T'$ $T'(0) = T'(1) = \min(T(0),T(1))$ $T'(n) \leq T(n)$ $T''$ $T''(0) = T''(1) = \max(T(0),T(1))$ $T(n) \leq T''(n)$ $T'=\Theta(h)$ $T''=\Theta(h)$ для тієї ж функції , тому також. $h$ $T = \Theta(h)$

Тепер давайте розслабимо припущення, що є монотонним. Припустимо, що для деякої монотонної функції . Таким чином, для деяких і досить великий. Для простоти вважаємо, що ; загальний випадок може бути розроблений, як у попередньому пункті. Знову визначаємо два повторення шляхом заміни на (відповідно). Ще раз магістральна теорема дасть той самий результат (до постійних кратних), який також є ідентичним (до постійних кратних) тому, що ми отримали, вирішивши початковий повтор лише за потужностями двох. $f$ $f = \Theta(g)$ $g$ $cg(n) \leq f(n) \leq Cg(n)$ $c,C>0$ $n$ $n=0$ $T',T''$ $f$ $cg,Cg$

— Юваль Фільм
джерело

Нарешті треба прочитати це уважніше. Приємно, дякую! Я думав, що відзначу це майбутнім читачам (бо я натрапив на це): не є обмеженням, оскільки це лише помилково для суперполіном і теорема Майстра до такого не стосується.

T (2^{m}) \in Θ (T (2^{m + 1}))

$T(2^m) \in \Theta(T(2^{m+1}))$

T

$T$

— Рафаель

Я спробував записати ваші докази більш докладно і застряг, підтверджуючи ваше останнє речення, "яке також ідентично (...) тому, що ми отримаємо, вирішивши первісний повтор лише за двома повноваженнями". Зокрема, ми повинні показати, що в кінцевому підсумку ми маємо теорему Master для , та . Це не стосується випадків 1 і 2, але я не можу довести існування для випадку 3 (див. Версію в CLRS, p94 у 3-й редакції). Ви думали про це чи працювали з версією, подібною до Вікіпедії ?

c g

$cg$

f

$f$

C g

$Cg$

c < 1

$c < 1$

— Рафаель

Це технічність. Якщо тоді проблема усувається , див., Наприклад, users.encs.concordia.ca/~chvatal/notes/master.pdf . Функція автоматично відповідає умовам. Я думаю, що те саме працює для тощо. Крім того, просто викладіть цю умову безпосередньо на а не на : повинно існувати деяка "регулярна" задовольняє .

f = Θ (n^{α})

$f = \Theta(n^\alpha)$

g

$g$

f = Θ (n^{α} \log^{β} n)

$f = \Theta(n^\alpha \log^\beta n)$

g

$g$

f

$f$

g

$g$

f = Θ (g)

$f = \Theta(g)$

— Yuval Filmus

Ну, ви стверджували, що " монотонна" була достатньою умовою (і я вам вірила), тому я намагався з цим працювати. Основна теорема, наведена в напр., CLRS стосується, наприклад, , якщо я не помиляюся, тому обмеження на полілогіармічні функції чи щось таке не є "технічним", але належним чином послаблює результат. Підвищення "регулярності" на не допомагає, до речі: я вже маю це у вирішальному випадку через регулярність / (за припущенням). Тож я, на жаль, повернувся до свого колишнього коментаря. Якщо це справді лише технічне, я цього не бачу. Занадто багато нерівностей.

g

$g$

f : n \mapsto 2^{n}

$f : n \mapsto 2^n$

g

$g$

c g

$cg$

C g

$Cg$

— Рафаель

Я все ще думаю, що це технічність. Стан, який ви переживаєте, - це технічний стан. Для більшості функцій, що з’являються на практиці, умова буде дотримана. Ви запитуєте найбільш загальну умову, під якою проходить вищезазначений ескіз. Це цікаве запитання, на яке я лінивий відповісти.

— Yuval Filmus