Заповнення бункерів парами куль

Бункер називається повним, якщо він містить принаймні $k$ куль. Наша мета - заповнити якомога більше бункерів.

У найпростішому сценарії нам дають $n$ куль, і ми можемо їх розміщувати довільно. У цьому випадку, очевидно, найкраще, що ми можемо зробити, - це $\lfloor n/k \rfloor$ бункери довільно і покладати $k$ кульки у кожну з них.

Мене цікавить такий сценарій: нам дають $n$ пар куль. Ми повинні покласти два кульки кожної пари у дві різні бункери. Потім приходить противник і виймає по одній кулі з кожної пари. Що ми можемо зробити, щоб після вивезення була максимально можлива кількість повних бункерів?

Проста стратегія: виберіть $\lfloor n/(2k-1) \rfloor$ пари бункерів. Наповніть кожну пару для сміття $2k-1$ кулькою (кожен контейнер містить $2k-1$ куля, по одному кулі від кожної пари). Тоді, незалежно від того, що знімає наш противник, ми маємо у кожній парі, принаймні, одну повну бункер.

Чи є у нас стратегія, яка забезпечує більшу кількість повних бункерів (більше $\lfloor n/(2k-1) \rfloor$ )?

combinatorics balls-and-bins

— Ерел Сегал-Халеві
джерело

Я не вірю в це

— Зак Сосьє

задано і

задано?

залежить від

n

$n$

k

$k$

k

$k$

n

$n$

— Зло

@EvilJS

задані і є незалежними.

n

$n$

k

$k$

— Ерел Сегал-Халеві

Чи гравець розміщує всі свої

ять пар кульок, а потім противник вибирає

кульок? Або гравець кладе пару кульок, а потім противник вибирає одну з цієї пари, а потім гравець кладе наступну пару і противник вибирає один і так далі, поки не буде більше пар кульок для розміщення?

n

$n$

n

$n$

— rotia

@rotia Гравець кладе всі свої п ять пар м'ячів, а потім противник вибирає n куль.

— Ерел Сегал-Халеві

TL; DR - Ні, немає кращої стратегії, ніж проста стратегія. Ось основна ідея доказу. Коли кульок буде недостатньо, буде "кульова доріжка" від -повного бака до бункера з не більше ніж кулі. Противник може передати кульку від цього повного відра до того менш повного бункера по цьому шляху, що можна робити багаторазово, поки кількість повних бункерів не зменшиться. $k$ $k-2$ $k$

Реформулювання в теорії графіків

Припустимо, нам задають простий кінцевий графік з функцією . Ми кажемо, що в краю кульки . Нехай - (кінцево-позначений край) безліч . Якщо задовольняє $G(V,E)$ $w: E\to\Bbb Z_{\ge 0}$ $w(e)$ $e$ $E_2$ $\{(e,v)| e\in E, v\in e\}$ $d:E_2\to\Bbb Z_{\ge 0}$ для кожного ребра , ми говоримощо є -distributing. Будь-якафункція розподілу викликає функцію, для якої ми використовуємо той самий символ, , $w(e)=d(e,v_1) + d(e,v_2)$ $e=\{v_1,v_2\}$ $d$ $w$ $w$ $d$ $d:V\to\Bbb Z_{\ge 0}$ . Ми говоримо, щокулі знаходяться в . Задавши , нехай , кількість -повних вершин на . $d(v) =\sum_{v\in e}d(e,v)$ $d(v)$ $v$ $k\in\Bbb Z_{\gt0}$ $F_k(d)=\#\{v\in V|d(v)\ge k\}$ $k$ $d$

(Теорема Ерела-Апасса) Для будь-якого простого кінцевого графа і маємо $G(V,E)$ $w:E\to\Bbb Z_{\ge0}$ $\sum_{e\in E}w(e)\geq (2k-1) \min_{w\text{-distributing }d}F_k(d)$

Уявіть, що кожна вершина - це смітник. Для кожного краю , кульові пари кладуть у і , кожен з яких отримує кулі. Серед цих пар куль супротивник може відняти кулі з і $e=\{v_1,v_2\}$ $w(e)$ $v_1$ $v_2$ $w(e)$ $w(e)$ $d(e,v_2)$ $v_1$ кулі від . Кінцевий результат такий же, як якщо б, враховуючи всі спочатку порожні бункери, для кожного краю , кульки вставляються в нього, а потім, і кульки розподіляютьсяпротивником відповіднодо і . Отже,теорема Ерела-Апасса говорить про те, щоб забезпечити це $d(e,v_1)$ $v_2$ $e=\{v_1, v_2\}$ $w(e)$ $d(e,v_1)$ $d(e,v_2)$ $v_1$ $v_2$ k-повних бункерів після вилучення спритного противника потрібно, принаймні, пари кульок. $t$ $(2k-1)t$ Іншим словом, оптимальна стратегія, щоб мати максимально можливу кількість заповнених бункерів - це справді "проста стратегія", яка неодноразово заповнює різні пари бункерів кульковими парами, поки у нас не буде достатньо кульок для повторення. . $2k-1$

Доведення теореми

Для суперечності нехай і - контрприклад, кількість вершин найменша серед усіх протилежних прикладів. Тобто, є -distributing таким чином, що мінімальний серед всіх з -distributing функції . Крім того, $G(V,E)$ $w$ $w$ $m$ $F_k(m)$ $F_k(d)$ $w$ $d$

\sum_{e \in E} w (e) < (2 k - 1) F_{k} (m)

$\sum_{e\in E}w(e)\lt (2k-1)F_k(m)$

Нехай . Нехай . Отже . $V_s=\{v\in V | m(v)\le k-2\}$ $V_\ell=\{v\in V|m(v)\geq k\}$ $F_k(m)=\#V_\ell$

Претензія перша: . $V_s\neq\emptyset$
Доказ претензії один. Нехай інакше порожній. $V_s$ Давайте також повторне використання як функції від до такещо для будь-якого .

\sum_{v \in V} m (v) = (k - 1) # V + \sum_{v \in V} (m (v) - (k - 1)) \geq (k - 1) # V + # V_{ℓ} > (k - 1) # V

$\sum_{v\in V}m(v)= (k-1)\#V +\sum_{v\in V}(m(v)-(k-1)) \ge (k-1)\#V + \#V_\ell \gt (k-1)\#V$

w

$w$

V

$V$

Z_{\geq 0}

$\Bbb Z_{\ge 0}$

w (v) = \sum_{v \in e} w (e)

$w(v)=\sum_{v\in e}w(e)$

v \in V

$v\in V$

Отже, повинна бути вершина

такою, що

\begin{aligned} \sum_{v \in V} w (v) & = \sum_{v \in V} \sum_{v \in e} w (e) = \sum_{e \in E} \sum_{v \in e} w (e) = \sum_{e \in E} 2 w (e) = 2 \sum_{e \in E} w (e) \\ = 2 \sum_{e \in E} \sum_{v \in e} m (e, v) = 2 \sum_{v \in V} \sum_{v \in e} m (e, v) = 2 \sum_{v \in V} m (v) \\ > 2 (k - 1) # V \end{aligned}

$\begin{align} \sum_{v\in V}w(v) &=\sum_{v\in V}\sum_{v\in e }w(e) =\sum_{e\in E }\sum_{v\in e}w(e) =\sum_{e\in E}2w(e) =2\sum_{e\in E}w(e)\\ &=2\sum_{e\in E }\sum_{v\in e}m(e,v) =2\sum_{v\in V}\sum_{v\in e }m(e,v) =2\sum_{v\in V}m(v)\\ &\gt 2(k-1)\#V \end{align}$

b

$b$

w (b) \geq 2 k - 1

$w(b)\ge 2k-1$

$G'(V', E')$ $w'$ $V'=V\setminus\{b\}$ $G'(V', E')$ $G[V']$ $w'=w|_{E'}$ $w'$ $d'$ $w$ $d_{d'}$ $d_{d'}$ $d'$ $E'$ $d_{d'}(e, b)=w(e)$ $e$ $b$ $F_k(d_{d'})= F_k(d') + 1$ $d_{d'}(b)=\sum_{b\in e}d_{d'}(e,b) = \sum_{b\in e}w(e)=w(b)\ge 2k-1\ge k$

\begin{aligned} \sum_{e \in E^{'}} w^{'} (e) & \leq \sum_{e \in E} w (e) - w (b) \\ < (2 k - 1) F_{k} (m) - (2 k - 1) \\ = (2 k - 1) (min_{w -distributing d} F_{k} (d) - 1) \\ \leq (2 k - 1) (min_{w^{'} -distributing d^{'}} F_{k} (d_{d^{'}}) - 1) \\ \leq (2 k - 1) min_{w^{'} -distributing d^{'}} F_{k} (d^{'}) \end{aligned}

$\begin{align}\sum_{e\in E'}w'(e)&\le\sum_{e\in E}w(e) - w(b)\\ &\lt (2k-1)F_k(m) -(2k-1)\\ &=(2k-1) \left(\min_{w\text{-distributing }d}F_k(d) -1\right)\\ &\le (2k-1) \left(\min_{w'\text{-distributing }d'}F_k(d_{d'})-1\right)\\ &\le (2k-1) \min_{w'\text{-distributing }d'}F_k(d') \end{align}$

G^{'} (V^{'}, E^{'})

$G'(V', E')$

w^{'}

$w'$

G

$G$

G (V, E)

$G(V,E)$

w

$w$

$v$ $v$ $d$ $u$ $u_0= u, u_1, u_2, \cdots, u_m, u_{m+1}=v$ $m\ge0$ $d(\{u_i, u_{i+1}\}, u_i)>0$ $V_r=V_\ell\cup \{v\in V|\exists u\in V_\ell \text{ and } v\text{ is } m\text{-reachable from } u \}$

$V_r = V$
$V_r\neq V$ $v\in V_r$ $u\notin V_r$ $u$ $v$ $\{v, u\}$ $w(\{v, u\}, v) = 0.$ $G'(V', E')$ $w'$ $v'=V_r$ $G'(V', E')$ $G[V']$ $w'=w|_{E'}$ $w'$ $d'$ $w$ $d_{d'}$ $d_{d'}$ $d'$ $E'$ $m$ $F_k(d_{d'})= F_k(d')$ $k$ $V_\ell\subset V_r$

\begin{aligned} \sum_{e \in E^{'}} w^{'} (e) & \leq \sum_{e \in E} w (e) \\ < (2 k - 1) F_{k} (m) \\ = (2 k - 1) min_{w -distributing d} F_{k} (d) \\ \leq (2 k - 1) min_{w^{'} -distributing d^{'}} F_{k} (d_{d^{'}}) \\ \leq (2 k - 1) min_{w^{'} -distributing d^{'}} F_{k} (d^{'}) \end{aligned}

$\begin{align}\sum_{e\in E'}w'(e)&\le\sum_{e\in E}w(e)\\ &\lt (2k-1)F_k(m)\\ &=(2k-1) \min_{w\text{-distributing }d}F_k(d)\\ &\le (2k-1) \min_{w'\text{-distributing }d'}F_k(d_{d'})\\ &\le (2k-1) \min_{w'\text{-distributing }d'}F_k(d') \end{align}$

G^{'} (V^{'}, E^{'})

$G'(V', E')$

w^{'}

$w'$

G

$G$

G (V, E)

$G(V,E)$

w

$w$

Тепер докажемо теорему.

$V_r=V$ $V_s\neq\emptyset$ $u_0= u, u_1, u_2, \cdots, u_m, u_{m+1}=v$ $m\ge0$ $m(u)\gt k$ $m(v)\leq k-2$ $d(\{u_i, u_{i+1}\}, u_i)>0$ $w$ $r(m)$ $m$

r (m) (e, u) = {\begin{cases} m ({u_{i}, u_{i + 1}}, u_{i}) - 1 & if (e, u) = ({u_{i}, u_{i + 1}}, u_{i}) for some 0 \leq i \leq m \\ m ({u_{i}, u_{i + 1}}, u_{i + 1}) + 1 & if (e, u) = ({u_{i}, u_{i + 1}}, u_{i + 1}) for some 0 \leq i \leq m \\ m (e, u) & otherwise \end{cases}

$r(m)(e, u)= \begin{cases} m(\{u_i, u_{i+1}\}, u_i) -1 & \text{ if } (e,u)=(\{u_i, u_{i+1}\},u_i)\text { for some } 0\le i\le m\\ m(\{u_i, u_{i+1}\}, u_{i+1}) +1 & \text{ if } (e,u)=(\{u_i, u_{i+1}\},u_{i+1})\text { for some } 0\le i\le m\\ m(e,u) &\text{ otherwise } \end{cases}$

$m$ $r(m)$ $v$ $u$ $m(v)\lt r(m)(v)\le k-1$ $r(m)(u)\lt m(u)$ $r(m)$ $r^2(m)$ $i$ $i$ $w$ $r^i(m)$ $F_k(r^i(m))=0$ $F_k(m)>0$ $F(d)$ $w$ $d$

— Джон Л.
джерело

Я прочитав доказ, це добре виглядає. Насправді, якщо я правильно розумію, це ще більш загальне, оскільки воно дозволяє отримати довільний графік - моє питання - це особливий випадок, коли G - це повний графік. Це правильно? Інше питання: де саме доказ використовує той факт, що m такий, що Fk (m) мінімальний? Я бачу, що він використовується лише в останньому абзаці - чи правдиві попередні твердження у доказі без цього факту?

— Ерел Сегал-Халеві

F_{k} (m)

$F_k(m)$