Тільки з інтересу я спробував вирішити проблему з категорії «Останні» проекту Euler ( послідовність цифр суми ). Але я не в змозі придумати спосіб ефективного вирішення проблеми. Проблема полягає в наступному (у початковій послідовності питань на початку є два, але послідовність не змінюється):

Послідовність суми цифр дорівнює 1,2,4,8,16,23,28,38,49 .... де додаток послідовності є сумою цифр, що передують їй у послідовності. Знайдіть член послідовності.$n^{th}$$10^{15}th$

Наївне рішення неможливо реалізувати, оскільки це займає багато часу. Я намагався звести цю проблему до випадку експозиції матриці (це зайняло б кількість часу ), але не міг придумати такого рецидиву, що відповідає лінійним критеріям, як повторення для цієї послідовності досить своєрідний. Видно, що послідовність регулюється рецидивом:$O(log ( 10^{15}))$

де - n ^ {th} додаток послідовності, а d - функція, яка при введенні натурального числа як введення повертає суму цифр числа (наприклад, \; d (786) = 21 ). Мій другий підхід полягав у тому, щоб спробувати знайти деякий зразок у послідовності. Видно, що перші кілька членів послідовності можна записати якn t h$a_n$$n^{th}$$d$$\;d(786)=21$

   a_1 = 1  
   a_2 = 1 + d( 1 )
   a_3 = 1 + d( 1 ) + d( 1 + d( 1 ) )
   a_4 = 1 + d( 1 ) + d( 1 + d( 1 ) ) + d( 1 + d( 1 ) + d( 1 + d( 1 ) ) )
   a_5 = 1 + d( 1 ) + d( 1 + d( 1 ) ) + d( 1 + d( 1 ) + d( 1 + d( 1 ) ) ) + d( 1 +  d(  
   1 ) + d( 1 + d( 1 ) ) + d( 1 + d( 1 ) + d( 1 + d( 1 ) ) ) )

З наведеної вище схеми стає зрозуміло, що $n^{th}$ член послідовності може бути сформований наступним методом:

1. Запишіть $2^{n-1}$ $1$ 'з символом додавання між ними.
2. Залишивши перший $1$ , потім застосуйте функцію $d$ на наступних $2^{0}$ умовах, потім на наступних $2^{1}$ умовах, потім на наступних $2^{2}$ доданках тощо.
3. Потім застосовуйте описаний вище метод рекурсивно на аргументах кожної застосованої функції $d$ .

наприклад, якщо n = 3, ми виконуємо такі маніпуляції:

    1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
    1 + d( 1 ) + d( 1 + 1 ) + d( 1 + 1 + 1 + 1 )
    1 + d( 1 ) + d( 1 + d(1) ) + d( 1 + d( 1 ) + d( 1 +d( 1 ) ) )

За допомогою динамічного програмування я можу генерувати термін, використовуючи вищезазначений метод за часом , що знову ж таки не є кращим за наївне рішення.$n^{th}$$O(log ( 2^{10^{15}} ) )$

EDIT 1
Ще одне, що можна спостерігати, це те, що . Наприклад, . Але я не в змозі скористатися цим пунктом. Я знову спробував знайти лінійне відношення рецидиву (для матричної експоненції), але не можу його знайти.$d(a_n) = d(2^{n-1})$$d(a_6)=d(23)=d(32)=5$

EDIT 2

Далі наводиться графік, коли послідовність побудована для меншого діапазону (спочатку наводяться членів послідовності). $10^6$

PS: Я знаю, що недоцільно запитувати рішення у Project Euler. Але я просто хочу нового напрямку чи підказки, оскільки я рухаюся по колах останні кілька днів. Якщо це теж неприйнятно, я можу зняти питання, якщо це буде запропоновано.

Ваша послідовність описана в oeis.org/A004207 як сума цифр. Є кілька хороших моментів, як послідовність моди 9 має повторюваний малюнок , вона ділиться цифровими коренями з oeis.org/A065075 та oeis.org/A001370 . Якщо ці властивості корисні - це відкрита проблема (оскільки для n - t h чисел немає рівняння закритої форми ).$(1, 2, 4, 8, 7, 5)^\infty$$n-th$

Є кілька властивостей цієї послідовності, які варто згадати:
Коли ви обчислюєте число, вам потрібно зберігати лише лічильник (щоб знати, яке це число) та саме число. Для перезапуску більше нічого не потрібно, оскільки наступне число - це поточне число + сума його цифр.$n-th$

Роблячи кілька кроків для забезпечення швидкості спочатку, добре класти числа в масив, уникаючи наївних розрахунків моди та діва, які дорого коштують. Це дає швидкість постійною, але дивлячись на час це має значення.

З початкової точки ви можете обчислити наступну та наступну, і вона працює до деякого моменту, саме ця точка є числом змін цифр.
Що важливіше, закономірності змінюються зі збільшенням чисельності.
Суми цифр невеликі порівняно з самими числами, тому на більшості операцій зміниться лише частина числа.
То що насправді ми можемо кешувати?

Ми знаємо, що з двома числами з однаковою сумою цифр додавання для отримання наступного числа буде однаковим. Що з наступним?

саша

Попередження спойлера, внизу, є досить явною схемою кешу

Це залежить від додаткових умов, як числа , які не змінюються в перспективі , я буду називати його зміщення , починаючи з суми в якості початку .

$100$$0$$9$$100$$n-th$

$100$
$100$$1$

$1$$0$

$1, 2, 4, 8$

$1$$101$$218$$305$$406$$517$$607$$719$$805$$904$$1003$

$100, 1000, 10000, 100000, 1000000...$
$100$

Оскільки ви попросили "новий напрямок чи підказку", і я не знаю відповіді, я залишу це тут, сподіваюся, це корисно. кілька ідей:

Має сенс, що існувала б модель 9, оскільки

$\forall k > 1,k \in \mathbb{Z}\quad10^k \equiv 1 \mod 9$

Що ви можете довести індукцією.

Це означає, що всі числа узгоджуються з сумою їхніх цифр mod 9.

$a_n = d(a_n) \mod 9 \implies$

Якщо ми продовжуватимемо розширювати цей рецидив, який ми отримуємо

$a_{n} = 2^n \mod 9$

Що пояснює шаблон мод 9.

$a_n = 9k + 2^n$

Ось дещо менше загального коду:

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

#sum digits of n
def sum_digits(n):
    s = 0
    while n:
        s += n % 10
        n //= 10
    return s

#get the sequence to n digits
def calculate(n):
    retval = [1]
    for i in range(n):
        retval.append(retval[-1] + sum_digits(retval[-1]))
    return retval;

#empirically confirm that a_n = 2^n mod 9
def confirmPow2(a):
    count = 0
    for i in a[:10000]:
        if((i%9) != (2**count % 9)):
            print "false"
        count = count + 1

#find gaps divisible by 9 in a subset of a
def find9Gaps(a):
    count = 0
    S = []
    for i in a[:10000]:
         S.append(((2**count ) - i)/9)
         count = count + 1
    return S

#repeatedly sum the digits until they're less than 9...
#gives some interesting patterns
def repeatedDigitSum():
    for i in range(1000, 1100):
         print "=========for ",i
         while i > 9:
                 i = sum_digits(i)
                 print i 


a = calculate(10**6)
b = find9Gaps(a)
plt.plot(range(len(b[:100])), b[:100])
plt.show()

Сюжет (для перших 100) виглядає експоненційно, але я не думаю, що це ідеально.

Ось результат

>>> plt.plot(range(len(b[5:60])), np.log2(np.array(b[5:60])))
>>> plt.show()

Останнє, що в мене є, - це здається, якщо ви підсумуєте цифри числа, а потім підсумовуєте цифри отриманого числа і повторюєте це, ви з часом отримаєте це число mod 9.

Має сенс враховувати вищезазначений факт про потужність 10 мод 9.

Це дає цікаву послідовність чисел.

Редагувати: Мабуть, це називається "цифровий корінь".