Чи може бути якась обмежена проблема в NP-Complete?

Мій викладач виступив із заявою

Будь-яка кінцева проблема не може бути заповнена NP

У той час він говорив про судоку, кажучи щось про те, що для судоку 8x8 існує кінцевий набір рішень, але я не можу точно пригадати, що він сказав. Я записав записку, яку я цитував, але все ще насправді не розумію.

Судоку - це NP, якщо я не помиляюся. Проблема клики також NP-Complete, і якщо у мене була проблема 4-Clique, це не є кінцевою проблемою, яка є NP-Complete?

np-complete np

— TheRapture87
джерело

Що таке "кінцева проблема"? Google і Wikipedia не допомагають.

— Антон Трунов

@AntonTrunov Проблема, в якій вхід має обмежену довжину.

— Yuval Filmus

@YuvalFilmus, Хіба це не правда для всіх дійсних вхідних пар машини Тьюрінга *? IIRC одним із символів позначається порожнім символом, і вхід спочатку має обмежену область, поза якою символи, відмінні від порожнього символу, не можуть з'являтися. Термін "NP завершено" зазвичай не використовується в контексті операцій над потоками, які неможливо змоделювати, не послаблюючи це припущення.

— Майк Самуель

@MikeSamuel Коли я кажу про обмежену довжину, я маю на увазі введення розміру не більше 100. (Або будь-яке число, окрім 100.)

— Yuval Filmus

@YuvalFilmus, добре. Я кажу, що термін "NP завершений" використовується лише тоді, коли на вході немає непорожніх символів або існує ціле число, яке є числом символів між самим крайнім лівим непорожнім символом та самим крайнім правильним непорожнім символом . 100 було б таким прикладом.

— Майк Самуель

Відповіді:

Якщо кінцева задача є NP-повною, то P = NP, оскільки кожна кінцева задача має поліноміальний алгоритм часу (навіть алгоритм постійного часу).

$n^2 \times n^2$

Нарешті, 4-клікова проблема, хоча не є кінцевою задачею (графік введення має необмежений розмір), є легкою проблемою, яка має поліноміальний алгоритм часу.

— Юваль Фільм
джерело

Так це 4-клічна задача P, оскільки вона має поліноміальний алгоритм часу?

— TheRapture87

@ Aceboy1993 Правильно, це визначення П.

— Yuval Filmus

Але тоді чому K-clique вважається в NP-Complete? Чи не просто K представляє число, як 4?

— TheRapture87

k

$k$

k

$k$

Крім того, ми можемо довести, що Клік є NP-завершеним.

— Yuval Filmus

Заява вашого вчителя невірна або, ймовірно, ви його неправильно почули. Правильне твердження

$L$ $|L| \geq 1$ $P = NP$

$P \neq NP$ $|L|>1$ $\emptyset$ $P=NP$ $P \neq NP$

Судоку або шахи не в повній NP (як зазначив Юваль), тому що їх вхід має розмір дошки 9x9 або 8x8 (я говорю про версії рішень, чи має рішення судоку чи має шахи стратегія виграшу). У шахах я припускаю, що якщо ви повторите позицію, це вважається нічиєю.

— Shreesh
джерело

Нагадаємо: Проблема X не є повною NP, якщо вона відповідає двом критеріям:

а) Саме в NP - Тобто будь-який здогаданий розчин X може бути перевірений у поліноміальний час.

b) Повна для NP - Т.е. Кожна проблема Y в NP має зменшення поліноміального часу, що переводить екземпляр Y на екземпляр X (так що будь-яка програма полінома-часу, яка розв'язує X, також би вирішила Y в поліноміально-часовий час ).

Ми можемо погодитись, що судоку 9x9 задовольняє (а). Це (б) там, де речі падають. Більш загально - проблеми (в NP чи іншим способом) зазвичай мають екземпляри розміру N для довільно великих значень N ; безумовно, це стосується відомих проблем НП. Зменшення від такої проблеми до такої, яка має максимально можливий розмір проблеми, можливо, не може бути дійсним зменшенням кількості екземплярів, тому що у першого завжди (нескінченно) більше примірників, ніж у останнього. Ось чому Судоку необхідно узагальнити до матриць NxN, перш ніж можна розглядати NP-повноту.

— PMar
джерело

Це неправильно. Цілком можливо мати дійсне скорочення від проблеми з нескінченно багатьма екземплярами до проблеми з кінцем безліччю екземплярів. Наприклад, ось скорочення від SAT до проблеми визначення того, чи є рядок довжиною-1 рівним "a": якщо екземпляр SAT є задоволеним, віднесіть його до рядка "a"; в іншому випадку, картографуйте його на рядок "b". Тепер це скорочення (ймовірно) не піддається обчисленню в поліноміальний час, але це цілком коректне зменшення.

— Девід Річербі