Вирішення проблеми щодо многочленів

Я зіткнувся з такою цікавою проблемою: нехай - поліноми над полем дійсних чисел, і припустимо, що їх коефіцієнти всі цілі (тобто є кінцеве точне подання цих многочленів). Якщо потрібно, можна припустити, що ступінь обох многочленів однакова. Позначимо через (відповідно, ) найбільше абсолютне значення деякого (реального або складного) кореня многочлена (відповідно ). Чи властивість ?$p,q$$x_p$$x_q$$p$$q$$x_p = x_q$

Якщо ні, чи ця власність стосується деяких сімей поліномів з обмеженим доступом? У контексті, з якого виникає ця проблема, поліноми є характерними поліномами матриць, а їх корені - власними значеннями.

Мені відомі деякі чисельні алгоритми для обчислення коренів многочленів / власних значень, однак, здається, вони тут не приносять користі, оскільки вихід цих алгоритмів лише приблизний. Мені здається, що комп’ютерна алгебра може бути тут корисною, проте, на жаль, я майже не знаю в цій галузі.

Я не шукаю детального рішення цієї проблеми, проте будь-яка інтуїція та ідеї, де шукати рішення, були б корисними.

Спасибі заздалегідь.

Я також не обізнаний у цій галузі, але думаю, що можу дати неконструктивну відповідь.

Теорія першого порядку реальних закритих полів рішуча. Ваша проблема може бути викладена як система алгебраїчних рівнянь та нерівностей над реальними алгебраїчними числами. Розглянемо змінних . Ви хочете знати, чи підходить наступна система: $2 (\deg P + \deg Q)$$x_1,\ldots,x_{\deg P}, y_1,\ldots,y_{\deg P}, x'_1,\ldots,x'_{\deg P}, y'_1,\ldots,y'_{\deg P}$

$$\begin{align*} P(x_j+i\,y_j) &= 0 & \text{for \(1 \le j \le \deg P\)} \\ Q(x'_k+i\,y'_k) &= 0 & \text{for \(1 \le k \le \deg Q\)} \\ x_j^2 + y_j^k &\le x_1^2 + x_2^2 & \text{for \(2 \le j \le \deg P\)} \\ x'_j^2 + y'_j^k &\le x'_1^2 + x'_2^2 & \text{for \(2 \le k \le \deg Q\)} \\ x_1^2 + y_1^2 = x'_1^2 + y'_1^2 \\ \end{align*}$$

Перші дві сімейства рівнянь виражають, що і є коренями многочленів, наступні дві сім'ї нерівностей виражають, що і мають найбільше абсолютне значення, а остання нерівність порівнює ці найбільші абсолютні значення.$x_j+i\,y_j$$x'_k+i\,y'_k$$x_1+i\,y_1$$x'_1+i\,y'_1$

Можна вирішити, чи ця система задоволена: ваша проблема вирішується. Однак це твердження, мабуть, не найефективніший шлях для цього.

Більш корисна відповідь, ймовірно, передбачає теорію основ Грьобнера . Якщо ви намагаєтеся вирішити цю проблему самостійно, я думаю, що прочитавши перші кілька глав будь-якої книги обчислювальної алгебри, ви отримаєте необхідну основу. Якщо ви просто прагнете вирішити свою основну проблему, можливо, існує позачерговий алгоритм, який ви можете реалізувати.

Я можу помилятися з цього приводу: я також не дуже обізнаний у цій галузі (де експерти !?), але я вважаю, що у мене досить швидкий алгоритм щодо того, що ви запитуєте.

Я хочу припустити, що для простоти всі корені справжні. Знайдіть інтервал, пов'язаний у корені з найвищим абсолютним значенням (тобто інтервал такий, що та для всіх інших коренів ). Такий інтервал можна знайти при поєднанні використання дихотомії та теореми Штурма . Тепер обчислити багаточлен НСД в і . Перевірте, що має корінь у (знову ж таки з теоремою Штурма).I x P ∈ I x ′ P ∉ I P R P Q R $P$$I$$x_P\in I$$x_P'\notin I$$P$ $R$$P$$Q$$R$$I$

Якщо я не помиляюся, має такий корінь тоді і тільки тоді , коли і мають спільне коріння в , який , в свою чергу , можливо лише в тому випадку є коренем . І застосування теореми Штурма, і GCD є досить швидким (насправді не більш ніж квадратичним за розміром поліномів).P Q I x P$R$$P$$Q$$I$$x_P$$Q$

Це лише ескіз, але це не займе багато, щоб перетворити це на добросовісний алгоритм, адже я підозрюю, що використання Maple або Mathematica зробить це дрібницею.