Інтуїція за воротами Адамара

10

Я намагаюся навчити себе квантовим обчисленням, і я гідно розумію лінійну алгебру.

Я пробрався через ворота NOT, що було не дуже погано, але потім я дістався до воріт Адамара. І я застряг. Головним чином, тому що, хоча я "розумію" маніпуляції, я не розумію, що вони насправді роблять, і чому ви хочете їх робити, якщо це має сенс.

Наприклад, коли ворота Адамара приймає він дає . Що це означає? Для ворота NOT він приймає і дає . Нічого незрозумілого в цьому немає; він дає "протилежний" біт (для суперпозиції він бере в і дає ), і я розумію, чому це корисний; з тих же причин (в основному), що це корисно в класичному комп’ютері. Але що (наприклад), ворота Адамара робить геометрично вектору ? І чому це корисно? $|0\rangle$ $\frac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}}$ $|0\rangle$ $|1\rangle$ $\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$ $\beta|0\rangle + \alpha|1\rangle$ $\begin{bmatrix}\alpha \\ \beta \end{bmatrix}$

logic quantum-computing

— вереск
джерело

10

Ворота Адамара може бути вашою першою зустріччю зі створенням суперпозицій . Якщо ви скажете, що можете співвіднести корисність воріт Pauli (ака ) з його класичним аналогом - ну, Адамард саме там, де ви залишаєте царину класичного аналога. Це корисно саме з тієї ж причини, а саме тим, що його часто використовують для формування універсального набору воріт (наприклад, класичних з вентиляторами, або лише з вентилятором). $X$ NOTANDNOTNOR

Хоча одна ворота дещо безпосередньо корисна для генерації випадкових чисел (як сказав Юваль Філіус), її справжня потужність виявляється, коли вона з’являється в більшості випадків або в поєднанні з іншими воротами. Наприклад, якщо у вас є кубітів, ініціалізованих у , і застосуйте одну до кожного з них у будь-якому порядку, ви отримаєте які можна розширити до Voilà, тепер ми можемо оцінювати функції на $H$ $n$ $|0\rangle$ $H$

(| 0 ⟩ + | 1 ⟩) \otimes (| 0 ⟩ + | 1 ⟩) \otimes \dots \otimes (| 0 ⟩ + | 1 ⟩) / 2^{n / 2}

$(|0\rangle + |1\rangle) \otimes (|0\rangle + |1\rangle) \otimes \ldots \otimes (|0\rangle + |1\rangle) / 2^{n/2}$

1 / 2^{n / 2} \cdot (| 00 \dots 00 ⟩ + | 00 \dots 01 ⟩ + | 00 \dots 11 ⟩ + \dots + | 11 \dots 11 ⟩)

$1/2^{n/2} \cdot (|00\ldots00\rangle + |00\ldots01\rangle + |00\ldots11\rangle + \ldots + |11\ldots11\rangle)$

2^{n}

$2^n$ паралельно різні входи! Це, наприклад, перший крок в алгоритмі Гровера .

Ще одне популярне використання - це Адамард на одному кубіті, за яким слід CNOTкерувати кубітом, який ви щойно помістили в суперпозицію. Див: Це стан Белла, який є наріжним каменем різних протоколів розподілу квантових ключів , обчислень на основі вимірювань , квантової телепортації та багатьох інших програм . Ви також можете використовувати кілька разів на більш ініціалізованих цільових кубітах (з тим самим керуванням), щоб створити , відомий як GHZ держава

C N O T (2^{- 1 / 2} (| 0 ⟩ + | 1 ⟩) \otimes | 0 ⟩) = 2^{- 1 / 2} C N O T (| 00 ⟩ + | 10 ⟩) = 2^{- 1 / 2} (| 00 ⟩ + | 11 ⟩)

$CNOT \big(2^{-1/2}(|0\rangle+|1\rangle)\otimes|0\rangle \big) = 2^{-1/2} CNOT(|00\rangle + |10\rangle) = 2^{-1/2} (|00\rangle + |11\rangle)$ CNOT

2^{- 1 / 2} (| 00 \dots 00 ⟩ + | 11 \dots 11 ⟩)

$2^{-1/2} (|00\ldots00\rangle + |11\ldots11\rangle)$ , також надзвичайно корисні.

І останнє, але не менш важливе, це досить корисна базова трансформація, яка є самооборотною. Отже, інший хід Адамара скасовує, в певному сенсі, те, що робила попередня програма ( ). Ви можете експериментувати навколо того, що станеться, якщо використовувати його для "сендвіч" інших операцій, наприклад, поставити одну на цільовий кубіт воріт, а іншу після неї. Або на обидва кубіти (загалом 4 Адамари). Спробуйте самі, і ви неодмінно дізнаєтесь багато про квантові обчислення! $H^2 = I$ CNOT

Знову "що ворота Адамара робить геометрично вектору": прочитайте про сферу Блоха , про неї ви почуєте всюди. У цьому зображенні ворота Адамара здійснюють обертання на 180 ° навколо певної похилої осі. Ворота Паулі ( NOTбудучи однією з трьох) також роблять обертання на 180 °, але лише приблизно або або . Оскільки такі геометричні операції досить обмежені, ці ворота самі по собі дійсно не можуть зробити багато. (Дійсно, якщо ви обмежите себе тим і а $x$ $y$ $z$ CNOTу вашому квантовому комп'ютері ви просто побудуєте дуже дорогий і неефективний класичний пристрій.) Обертання про щось нахилене є важливим, і ще один інгредієнт, який вам зазвичай потрібен, також обертається на меншу частку кута, як 45 ° (як у Фазі зсувні ворота ).

— Ві
джерело

9

Ворота Адамара працює на одному кубіті. Стан одного кубіта можна описати як , де . Якщо виміряти кубіт, вихід з ймовірністю , і з ймовірністю . З лінійно-алгебраїчної точки зору стан кубіту - це лише одиничний вектор норми довжиною два над складними числами. Два вектори охоплюють векторний простір розмірності два (над складними числами), і кожен одиничний вектор норми у цьому векторному просторі може бути станом кубіта . $\alpha \left|0\right\rangle + \beta \left|1\right\rangle$ $|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$ $0$ $|\alpha|^2$ $1$ $|\beta|^2$ $\left|0\right\rangle,\left|1\right\rangle$

Оскільки у штаті завжди є одинична норма, на кубітах можливі лише лінійні оператори, які зберігають норми. З лінійної алгебри ми знаємо, що це саме ермітські оператори. Для опису оператора достатньо описати його вплив на основі. Наприклад, значення вашого оператора у векторі є . $\left| 0 \right\rangle$ $\frac{\left| 0 \right\rangle + \left| 1 \right\rangle}{\sqrt{2}}$

Згідно з Вікіпедією , ворота Адамара використовується для формування "випадкового введення". Якщо застосовано до постійного кубіта (тобто , , або обертання їх на комплексне число одиниць норми), ворота Адамара утворює "рівномірно випадковий" кубіт , який при вимірюванні поводиться як справедливий кидок монети. Такого типу поведінки ми хочемо, коли «намагаємось паралельно всі можливості». $\left| 0 \right\rangle$ $\left| 1 \right\rangle$

Я пропоную вам продовжити читання з квантових обчислень; коли ви перейдете до квантових алгоритмів (таких як Гровер і Шор), ви зрозумієте, для чого корисні всі ці квантові ворота.

— Юваль Фільм
джерело

3

"Одиничний вектор норми довжини два" мене бентежить, тому що я звик використовувати норму та довжину взаємозамінно.

— adrianN