Що таке індукція-індукція?

Що таке індукція-індукція ?

Я знайшов такі ресурси:

книга HoTT , наприкінці глави 5.7.
Стаття nLab
стаття під назвою Індуктивно-індуктивні визначення
У цьому дописі в блозі також згадуються індуктивно-індуктивні типи

Перші дві посилання для мене занадто короткі, а останні два - надто технічні. Чи може хтось пояснити це терміном мирянина? Було б краще, якщо є код Agda.

type-theory induction inductive-datatypes

— 盛安安
джерело

У вашому четвертому цитаті є код Агди.

— Жил "ТАК - перестань бути злим"

Звичайно, але прочитати цю величезну кількість коду було б дуже важко. І (я здогадуюсь) дуже легко, просто побачивши 1 або 2 приклади.

— 盛安安

Доповнення 2016-10-03: Я змішав індукцію-індукцію та індукцію-рекурсію (не вперше робив це!). Мої вибачення за безлад. Я оновив відповідь, щоб охопити обидва.

Я знаходжу пояснення у статті Forsberg & Setzer. Кінцева аксіоматизація індуктивно-індуктивних визначень, що висвітлюються.

Індукційно-рекурсійні

Індуктивно-рекурсивне визначення - це те, в якому ми визначаємо тип $A$ і сімейство типів $B : A \to \mathsf{Type}$ одночасно особливим чином:

$A$ визначається як індуктивний тип.
$B$ визначається рекурсії на $A$ .
Важливо відзначити , що визначення $A$ може використовувати $B$ .

Без третьої вимоги, ми могли б спочатку визначити $A$ , а потім окремо $B$ .

Ось дитячий приклад. Визначте $A$ індуктивно, щоб мати такі конструктори:

$a : A$
$\ell : \big(\sum_{x : A} B(x)\big) \to A$

Сімейство типів $B$ визначається за допомогою

$B(a) = \mathtt{bool}$
$B(\ell(x, f)) = \mathtt{nat}$ .

Отже, що в $A$ ? Перш за все ми маємо елемент

a : A .

$a : A.$ Через це існує тип

B (a)

$B(a)$ який визначається як

b o o l

$\mathtt{bool}$ . Таким чином, ми можемо утворити два нових елементи

ℓ (a, f a l s e)

$\ell(a, \mathtt{false})$ і

ℓ (a, t r u e)

$\ell(a, \mathtt{true})$ в . Тепер маємо

A

$A$

B (ℓ (a, f a l s e)) = B (ℓ (a, t r u e)) = n a t

$B(\ell(a, \mathtt{false})) = B(\ell(a, \mathtt{true})) = \mathtt{nat}$ , тому ми можемо також сформувати для кожного

n : n a t

$n : \mathtt{nat}$ елементи

ℓ (ℓ (a, f a l s e), n) : A

$\ell(\ell(a, \mathtt{false}), n) : A$ і

ℓ (ℓ (a, t r u e), n) : A

$\ell(\ell(a, \mathtt{true}), n) : A$ Ми можемо продовжувати так. Наступним етапом буде те, що оскільки

B (ℓ (ℓ (a, t r u e), n)) = n a t

$B(\ell(\ell(a, \mathtt{true}), n)) = \mathtt{nat}$ існує для кожного

m : n a t

$m : \mathtt{nat}$ елемент

ℓ (ℓ (ℓ (a, t r u e), n), m) : A

$\ell(\ell(\ell(a, \mathtt{true}), n), m) : A$ і елемент

ℓ (ℓ (ℓ (a, f a l s e), n), m) : A

$\ell(\ell(\ell(a, \mathtt{false}), n), m) : A$ Ми можемо продовжувати рух. Трохи роздумуючи, виявляється, що

A

$A$ - це більш-менш дві копії списків натуральних чисел, що мають спільний порожній список. Я залишу це як вправу, щоб зрозуміти, чому.

Індукція-індукція

Індуктивно-індуктивне визначення також визначає тип $A$ і одночасно сімейство типів $B : A \to \mathsf{Type}$ :

$A$ визначається індуктивно
$B$ $A$
$A$ $B$

$B$

B (c (\dots)) = \dots

$B(\mathsf{c}(\ldots)) = \cdots$

c (\dots)

$\mathsf{c}(\ldots)$

A

$A$

B

$B$

B

$B$

$A$

$a : A$
$\ell : \big(\sum_{x : A} B(x)\big) \to A$

$B$

$\mathsf{Tru} : B(a)$
$\mathsf{Fal} : B(a)$
$x : A$ $y : B(x)$ $\mathsf{Zer} : B(\ell(x,y))$
$x : A$ $y : B(x)$ $z : B(\ell(x,y))$ $\mathsf{Suc}(z) : B(\ell(x,y))$

$B$ $B(a)$ $B(\ell(x,y))$

— Андрій Бауер
джерело

чому, пекло, хтось би визначав такі типи даних D:

— 盛安安

Для того, щоб навчити, що таке індуктивно-індуктивний тип. Я можу навести вам реальний приклад, а саме всесвіт типу, але це буде заплутано.

— Андрій Бауер

@AndrejBauer Для мене це більше схоже на індукцію-рекурсію. Індукція-індукція - це коли сімейство типів визначається як індуктивний тип .

— gallais

На жаль, ви абсолютно праві. Я це виправлю.

— Андрій Бауер

ℓ

$\ell$