якщо (λ x. xx) має тип, тоді система типів є непослідовною?

Якщо система типів може призначити тип λ x . x xабо не закінчується (λx . x x) (λ x . x x), то ця система є наслідком непослідовної? Чи заселений кожен тип у цій системі? Чи можете ви довести хибність?

lambda-calculus dependent-types

— MaiaVictor
джерело

Звичайно, присвоєння типу це НЕ досить для непослідовності: в системі , можна отримати $\lambda x. x\ x$ $F$

λ x . x x : (\forall X . X) \to (\forall X . X)

$\lambda x.x\ x:(\forall X.X)\rightarrow (\forall X.X)$

досить прямо (це гарна вправа!). Однак не може бути добре набраний у цій системі, якщо вважати -послідовність арифметики 2-го порядку, оскільки це означає, що всі такі добре введені терміни нормалізуються. $(\lambda x.x\ x)(\lambda x.x\ x)$ $\omega$

Крім того, система є послідовною. Це випливає з будь-нормалізації, як можна показати , що будь-який член типу не може мати нормальну форму, або набагато більш простий аргумент, в якому кожен тип присвоюється набір, або або і можна показати , що всі виведені типи призначені , і призначено (і тому не є похідним). $F$ $\forall X.X$ $\varnothing$ $\{\varnothing\}$ $\{\varnothing\}$ $\forall X.X$ $\varnothing$

Останній аргумент можна проводити в арифметиці першого порядку. Справа в тому, що може бути добре набраний у послідовній системі, може сприйматися як дещо тривожний і є наслідком непередбачуваності систем . Це не повинно дивуватися, що деякі люди ставлять під сумнів надійність непередбачуваних логічних систем. Однак поки що в таких системах не виявлено невідповідностей. $\lambda x.x\ x$

$(\lambda x.x\ x)(\lambda x.x\ x)$

Більш детальну інформацію можна знайти у моїй відповіді на пов’язане питання: /cstheory//a/31321/3984

— коді
джерело

Прочитавши ці відповіді, я бачу, що ви, очевидно, добре розумієте справу. Я хотів би дізнатися більше, але не знаю, де шукати. Я переглянув книгу TAPL, і в ній нічого не згадується, тому я не впевнений, що це тема Теорії типів. Не могли б ви вказати мені, які сфери CS / математики пов'язані з цим питанням, а можливо, декілька книг / статей? Велике спасибі.

— MaiaVictor

Я не впевнений , що ці питання є «областю досліджень» сам по собі , більше схожі на кілька кумедних питання , які б відповідали давно , якщо існує які - то серйозні зусилля з боку експертів. Це, безумовно, предмет теорії типів, і теорія систем чистого типу має перевагу зробити проблему визначеною і обмеженою. Я б, напевно, рекомендував папір Coquand-Herbelin з іншої нитки.

— коді

Подібні запитання задавались, наприклад, тут і тут . Я додам до списку "лямбда-калькуляції з типами" Барендрегта .

— Коді

λ x : (\forall X . X) . Λ Y . x [Y \to Y] (x [Y])

$\lambda x : (\forall X . X) . \Lambda Y . x [Y \to Y] \; (x [Y])$

(\forall X . X) \to (\forall X . X)

$(\forall X . X) \to (\forall X . X)$

λ

$\lambda$

λ x : (\forall X . X) . x [(\forall X . X) \to (\forall X . X)] x

$\lambda x:(\forall X.X). x[(\forall X.X)\rightarrow(\forall X.X)]\ x$ якщо ти хочеш. Тут не можна визначити тип виводу, але це дещо ортогонально. Звичайно, у вас залежні типи не є зрозумілими, але існують версії, наприклад, CoC з неявними кількісними оцінками (обчислення Мікеля неявних конструкцій), тому питання залишається актуальним.

— коді