Трюк, використаний при доведенні подвійної експоненціальної складності арифметики Пресбургера

Я опублікував це на MathUnderflow, але не отримав відповідей, тому подумав, що спробую тут,

Я читаю стару книгу Рабіна та Фішера [опублікую посилання, коли це можливо], де, серед іншого, доведена подвійна експоненціальна складність арифметики Пресбургера.

Доказ покладається на існування формули $I_{n}(x)$ неофіційно стверджує " $x < 2^{2^{kx+1}}$ "с $|I_{n}| \in O(n)$ . Хоча побудова цієї формули не наведена в роботі, що було для мене несподіванкою, враховуючи, що вона, ймовірно, є нетривіальною, враховуючи це обмеження та факт, що у нас є лише доповнення! Our

Пізніше я дізнався, що побудова цієї формули спирається на "хитрість", яку раніше виявив Фішер та незалежно Волкер Страссен, але мені не вдалося розшукати документ, що описував цей трюк детально!

Тож якщо хтось знає про папір, про який я говорю, і може або вказати мені на його бік, або навіть описати мені трюк ...

Ця публікація з блогу Ліптона містить посилання на статтю, а також згадує [і містить грубі, на жаль, недостатній для мене ескіз] сказаного трюку, BTW.

¹ Я знаю, що це невиразний опис. Хоча досить детальний опис був би занадто довгим для посади SX, тому я просто сподіваюся, що хтось, хто вже знає про цю статтю, - і, таким чином, зможе зробити цей короткий ескіз - натрапить на це і може мені допомогти. .

complexity-theory reference-request logic

— мокрий
джерело

Яке відношення між

n

$n$ і

k

$k$ ? Або має бути

2^{2^{n x + 1}}

$2^{2^{nx+1}}$ ?

— Шоул

Ви можете завантажити папір Fisher & Rabin тут .

— Мартін Бергер

Будівництво буде дано в роботі: Теорема 8 на сторінках 14-15 (фактичне твердження слідства 9 на сторінці 16).

— Yuval Filmus

Коментар Мартіна (та подальші дії Юваля) дає посилання, яке пояснює конструкцію докладно.

Я трохи докладу, тому що вважаю це чудовим доказом: в основному це виконання "звичайного" доказу невідмінюваності ПА (арифметичне з додаванням і множенням), але відносне до $2^{2^{c\cdot n}}$ ! Тобто існує (коротка) формула, яка виражає множення до цього числа, тобто формула $M_n(x,y,z)$ такий як

М_{н} (х, у, z) \Leftrightarrow х \times у = z \land х < 2^{2^{н}}

$M_n(x,y,z) \Leftrightarrow x\times y=z\ \wedge x< 2^{2^n}$

Тепер ви будуєте $M_n$ індукцією на $n$ , з вирішальним трюком, що нагадує алгоритм Карацуби для множення двійкових чисел або певні трюки для матричного множення:

У визначенні для $M_{n+1}(x,y,z)$ ви закінчуєте сполучником форми

М_{н} (х_{1}, у_{1}, z_{1}) \land М_{н} (х_{2}, у_{2}, z_{2}) \land М_{н} (х_{3}, у_{3}, z_{3})

$M_{n}(x_1,y_1,z_1)\wedge M_{n}(x_2,y_2,z_2)\wedge M_{n}(x_3,y_3,z_3)$

Але ви можете замінити це

\forall у v ш, (у = х_{1} \land v = у_{1} \land ш = z_{1}) \lor (у = х_{2} \land v = у_{2} \land ш = z_{2}) \lor (у = х_{3} \land v = у_{3} \land ш = z_{3}) \Rightarrow М_{н} (у, v, ш)

$\forall u v w,(u=x_1\wedge v=y_1\wedge w=z_1)\vee(u=x_2\wedge v=y_2\wedge w=z_2)\vee(u=x_3\wedge v=y_3\wedge w=z_3)\Rightarrow M_n(u,v,w)$

Ця хитрість дозволяє лінійне збільшення розмірів замість експоненціальної (як функція $n$ ).

Є кілька інших хитрощів, але це головний. Внутрішня внутрішність рекурсії важлива, звичайно, але схожість з фокусом Карацуби насправді вражає.

— коді
джерело

Деякі можуть визнати хитрість кількісного оцінювання з доказування

P S P A C E = N P S P A C E

$PSPACE=NPSPACE$ .

— Аріель