Наскільки асимптотично поганим є наївне перетасування?

Добре відомо, що цей "наївний" алгоритм переміщення масиву шляхом заміни кожного елемента іншим випадково вибраним не працює належним чином:

for (i=0..n-1)
  swap(A[i], A[random(n)]);

Зокрема, оскільки на кожному з ітерацій робиться один із варіантів (з однаковою ймовірністю), можливі можливих 'шляхів' через обчислення; тому що кількість можливих перестановокне ділиться рівномірно на кількість шляхів , за цим алгоритмом неможливо створити кожен зперестановки з однаковою ймовірністю. (Натомість слід використовувати так званий перетасовок Фішера-Йейта , який по суті змінює виклик на вибір випадкового числа з [0..n) з викликом на вибір випадкового числа з [i..n); але це спір мого питання.)$n$$n$$n^n$$n!$$n^n$$n!$

Мені цікаво, наскільки «поганим» може бути наївне побиття? Більш конкретно, нехай - це сукупність усіх перестановок, а - кількість шляхів через наївний алгоритм, що виробляє отриману перестановку , яка асимптотична поведінка функції$P(n)$$C(\rho)$$\rho\in P(n)$

$\qquad \displaystyle M(n) = \frac{n!}{n^n}\max_{\rho\in P(n)} C(\rho)$

і

$\qquad \displaystyle m(n) = \frac{n!}{n^n}\min_{\rho\in P(n)} C(\rho)$ ?

Провідним фактором є «нормалізація» цих значень: якщо наївне переміщення «асимптотично добре», то

$\qquad \displaystyle \lim_{n\to\infty}M(n) = \lim_{n\to\infty}m(n) = 1$ .

Я підозрюю (на основі деяких комп'ютерних симуляцій, які я бачив), що фактичні значення обмежені від 1, але чи відомо навіть, якщо $\lim M(n)$ є кінцевим, або якщо $\lim m(n)$ обмежений від 0? Що відомо про поведінку цих величин?

Індукцією покажемо, що перестановка є прикладом із . Якщо це найгірший випадок, як це для перших кількох (див. Примітки до OEIS-послідовності A192053 ), то . Отже, нормалізований хв, як і нормалізований макс, є "експоненціально поганим".$\rho_n = (2,3,4,\ldots, n,1)$$C(\rho_n) = 2^{n-1}$$n$$m(n) \approx (2/e)^{n}$

Базовий корпус простий. Для етапу індукції нам потрібна лема:

Лемма: У будь-якому шляху від до або перший переміщується місцями позицій і , або останній переміщує місцями позиції і .$(2,3,4, \ldots, n, 1)$$(1,2,3, \ldots, n)$$1$$n$$1$$n$

Ескіз доказування: Припустимо, що ні. Розглянемо перший хід, що стосується -ї позиції. Припустимо, що це -й хід, і . Цей хід повинен поставити пункт на -му місці. Тепер розглянемо наступний хід, який стосується пункту . Припустимо, що цей крок - -й хід. Цей крок повинен поміняти і , переміщаючи пункт в «е місце, з . Аналогічний аргумент говорить про те, що пункт може бути згодом переміщений праворуч. Але пункт$n$$i$$i\neq 1$$i \neq n$$1$$i$$1$$j$$i$$j$$1$$j$$i < j$$1$$1$має закінчитися, в першу чергу, суперечливістю. $\square$

Тепер, якщо перший хід поміняє місцями позиції і , інші рухи повинні перестановити на . Якщо інші рухи не торкаються першого положення, то це перестановка у позиціях , і за індукцією ми знаємо, що є шляхи, які роблять це. Аргумент, подібний до доказу леми, говорить про те, що не існує шляху, який стосується першого положення, оскільки пункт повинен потім опинитися в неправильному положенні.$1$$n$$(1, 3,4,5, \ldots, n,2)$$(1,2,3,4, \ldots, n)$$\rho_{n-1}$$2 \ldots n$$C(\rho_{n-1})=2^{n-2}$$1$

Якщо останній хід змінюється місцями позицій і , перші переміщення повинні приймати перестановку на перестановку . Знову ж таки, якщо ці рухи не торкаються останньої позиції, то це перестановка , і за індукцією є шляхи що це роблять. І знову: якщо один з перших рухів сюди торкнеться останнього положення, пункт ніколи не може опинитися в потрібному місці.$1$$n$$n-1$$(2,3,4,\ldots, n,1)$$(n,2, 3,4, \ldots, n-1, 1)$$\rho_{n-1}$$C(\rho_{n-1})=2^{n-2}$$n-1$$1$

Таким чином, .$C(\rho_n) = 2C(\rho_{n-1}) = 2^{n-1}$

Після деякого копання, завдяки вказівнику mhum на OEIS, я нарешті знайшов чудовий аналіз та хороший (відносно) елементарний аргумент (завдяки, наскільки я можу сказати, Голдштейну та Моєву [1]), що зростає суперекспоненціально швидко в :$M(n)$$n$

Будь-яка інволюція з відповідає циклу "наївного" алгоритму перетасовки, який створює перестановку ідентичності як результат, оскільки алгоритм буде заміняти на і згодом поміняти з , залишаючи обидва незмінними. Це означає, що кількість запусків алгоритму, які дають перестановку тотожності, є щонайменше число інволюцій (насправді, трохи роздумування показує, що відповідність дорівнює 1-1, і це точно ) , і тому максимум в обмежений знизу .$\iota$$\{1\ldots n\}$$k$$\iota(k)$$\iota(k)$$k$$Q(n)$$Q(n)$$M(n)$$Q(n)$

$Q(n)$ мабуть, має ряд імен, включаючи номери телефонів : див. Http://oeis.org/A000085 та http://en.wikipedia.org/wiki/Telephone_number_%28mathematics%29 . Асимптотики добре відомі, і виявляється, що ; із відношення рецидиву можна індуктивно показати, що відношення задовольняє і звідси базовий аналіз отримує провідний член в асимптотиці, хоча інший умови вимагають більш ретельних зусиль. З моменту "коефіцієнта масштабу"$Q(n) \approx C\left(\frac{n}{e}\right)^{n/2}e^\sqrt{n}$$Q(n) = Q(n-1)+(n-1)Q(n-2)$$R(n) = \frac{Q(n)}{Q(n-1)}$$\sqrt{n}\lt R(n)\lt\sqrt{n+1}$$n^{n/2}$$\frac{n!}{n^n}$ у визначенні йдеться лише про , провідний член домінує і врожає (асимптотично) .$M(n)$$C\sqrt{n}e^{-n}$$Q(n)$$M(n)\geq Cn^{(n+1)/2}e^{-3n/2+\sqrt{n}}$

Голдштейн та Моєвс продовжують показувати в [1], що перестановка тотожності є найбільш ймовірною для великих , тому насправді є а поведінка повністю врегульована. Це все ще залишає відкритим питання про поведінку ; Я би не надто здивувався, якби це також піддалося аналізу в їх роботі, але я ще не мав можливості прочитати його досить уважно, щоб дійсно зрозуміти свої методи, достатньо лише підвести основний результат.$n$$\geq$$\approx$$M(n)$$m(n)$

[1] Гольдштейн, Д. та Моєвс, D .: "Ідентичність - це найімовірніша перестановка для обміну для великих", http://arxiv.org/abs/math/0010066