Як розділити набір на задану кількість роз'єднаних підмножин за певних умов?

Мені дають набір , ціле число s \ leqslant k і невід'ємні цілі числа a_ {ij} . Моя проблема полягає в знаходженні s непересічні підмножини S_j з \ {1, \ ldots, до \} такі , що:$A\triangleq\{1,\ldots,k\}$$s\leqslant k$$a_{ij}$$s$$S_j$$\{1,\ldots,k\}$

1. $\bigcup_{j=1}^s S_j=A$ ; і
2. $|S_j|\leqslant a_{ij}$ для всіх $i\in S_j$ і $j=1,\ldots,s$ .

Як вирішити цю проблему? Чи важко знайти можливе рішення?

Я думаю, що вирішити проблему непросто, тому що я спробував певну процедуру, яка починається деяким $j\in\{1,\ldots,n\}$ і призначає $i\in\{1,\ldots,k\}$ до числа з $i$ призначених $j$ , більше $a_{ij}$ для деяких $i$ призначений. Але це невірно, тому що я міг залишитися від деяких $i$ які не можна було призначити жодному $j$ (через їх $a_{ij}$ який не міг бути задоволений).

Метод грубої сили, коли мені доводиться генерувати всі підмножини $A$ і перевіряти кожну, працює для мене ( $k=8,n=3$ ), але дуже неефективний.

Ця проблема є важкою для NP завдяки скороченню від Vertex Cover.

У задачі про вершинні кришки нам дають графік та число , і наше завдання - визначити, чи є підмножина максимум вершин від такою, що кожне ребро в є інцидентним принаймні з однією вершиною з . (Рівнозначно: Чи можна вбити кожен край у , видаливши не більше вершин?)G = ( V , E ) r U $G = (V, E)$$r$$U$$r$V E U G $V$$E$$U$$G$$r$

По- перше, розбиття у підмножин непересічних еквівалентно присвоєння кожному елементу в саме один з можливих міток. Основна ідея скорочення полягає у створенні мітки для кожної вершини у , а також "дозволити" кожному ребру присвоїти лише одну з двох міток, що відповідають його кінцевим точкам, у такому значенні: призначення краю відповідному label не встановлює (справжнього) обмеження щодо того, яким іншим ребрам можна присвоїти ту саму мітку, в той час як присвоєння краю невідповідній мітці запобігає призначенню будь-якого іншого краю тієї ж мітки - що, звичайно, призводить до збільшення числа необхідних чітких етикеток.A s A s S j v j$A$$s$$A$$s$$S_j$$v_j$$V$

Щоб побудувати екземпляр вашої проблеми з екземпляра покриття Vertex:( A , a , s ) ( G , r $(A, a, s)$$(G, r)$

1. Встановіть доІ створити елемент в для кожного ребра в . (Ці пари можна розглядати як цілі числа ; будь-яке біекція між ними буде робити.)k | Е | ( i , j ) A v i v j$k$$|E|$$(i, j)$$A$$v_iv_j$$E$$1, \dots, k$
2. Встановіть наякщо або ; в іншому випадку встановіть на 1.a ( b , c ) , d | Е | d = b d = c a ( b , c ) , $a_{(b, c), d}$$|E|$$d=b$$d=c$$a_{(b, c), d}$
3. Встановити .$s=r$

Якщо - це екземпляр YES Vertex Cover, то легко зрозуміти, що щойно створений екземпляр вашої проблеми є також інстанцією YES: просто виберіть мітки відповідні вершинам у будь-якому рішенні , і для кожного краю присвоюйте відповідний елемент залежно від того, була обрана одна з міток або (виберіть довільно, якщо обидві мітки були вибрані). Це рішення використовує підмножини і є дійсним, оскільки єдиними чинними є відповідні( G , r ) S j v j U v b v c ∈ E ( b , c ) ∈ A S b S c s a i j | Е $(G, r)$$S_j$$v_j$$U$$v_bv_c \in E$$(b, c) \in A$$S_b$$S_c$$s$$a_{ij}$етикетки, які мають (не) ефектом запобігання більше, ніжкраям присвоюється однакова мітка.$|E|$

Залишається показати, що YES-примірник вашої проблеми передбачає, що оригінал - це екземпляр YES-вершини Cover. Це трохи більш складним, так як дійсне рішення до в загальному випадку може призначити ребро НЕ -corresponding мітка , тобто , що означає , що ми не можемо обов'язково «зчитувати» дійсну вершину кришку від дійсного рішення .X = ( A , a , s ) ( G , r ) Y X ( i , j ) S m m ∉ { i , j } U $X=(A, a, s)$$(G, r)$$Y$$X$$(i, j)$$S_m$$m \notin \{i, j\}$$U$$Y$

Однак присвоєння невідповідної мітки має високу вартість, що суттєво обмежує структуру рішення: щоразу, коли ребру присвоюється така мітка , з , факт що гарантує, що це повинен бути єдиний край, призначений цій мітці. Отже, в будь-якому рішенні що містить такий невідповідно маркований край , ми могли б побудувати альтернативне рішення таким чином:( i , j ) S m m ∉ { i , j } a ( i , j ) , m = 1 Y ( i , j ) ↦ S m Y $(i, j)$$S_m$$m \notin \{i, j\}$$a_{(i, j), m} = 1$$Y$$(i, j) \mapsto S_m$$Y'$

1. Довільно виберіть нову мітку для або або .S z ( i , j ) S i S $S_z$$(i, j)$$S_i$$S_j$
2. Призначте цю нову мітку. Якщо це призведе до недійсного рішення, це повинно бути тому, що саме одному іншому краю , вже було присвоєно мітку . У цьому випадку встановіть і перейдіть до кроку 1.( i , j ) ( i ′ , j ′ ) z ∉ { i ′ , j ′ } S z ( i , j ) = ( i ′ , j ′$(i, j)$$(i', j')$$z \notin \{i', j'\}$$S_z$$(i, j) = (i', j')$

Наведений вище алгоритм повинен закінчуватися одним із двох способів: або знайдена нова мітка , яка не вводить суперечностей, або повний цикл вершин. У першому випадку знайдено дійсне нове рішення з наборами , а в останньому випадку - нове дійсне рішення з наборами ; в будь-якому випадку, ми побудували діюче нове рішення з принаймні ще одним краєм, присвоєним відповідній мітці. Після повторення всього цього процесу не більшеразів ми створили правильне рішення з якого може бути зчинено рішення вихідної проблеми Vertex Cover .S z s - 1 s | Е | Y $S_z$$s-1$$s$$|E|$$Y''$

Ця конструкція є явно поліноміальною часом, тому випливає, що ваша проблема є NP-жорсткою.