Концепція Гольдбаха та зайнятий номер бобра?

Передумови: Я є повноправним мирянином з інформатики.

Я читав про зайнятих номерах Бівер тут , і я знайшов такий уривок:

Людство ніколи не може знати значення ВВ (6) для певного, не кажучи вже про ВВ (7) або будь-якого більшого числа в послідовності.

Насправді, у нас вже ухиляються перші п’ятірки та претенденти з шести правил: ми не можемо пояснити, як вони “працюють” по-людськи. Якщо творчість нав'язує їхній дизайн, це не тому, що люди його туди вкладають. Один із способів зрозуміти це - навіть невеликі машини Тьюрінга можуть кодувати глибокі математичні проблеми. Візьмемо гіпотезу Гольдбаха, що кожне парне число 4 або вище - це сума двох простих чисел: 10 = 7 + 3, 18 = 13 + 5. Гіпотеза чинить опір доказуванню з 1742 року. Проте ми можемо розробити машину Тьюрінга із, о, скажімо, 100 правилами, яка перевіряє кожне парне число, щоб побачити, чи це сума двох простих чисел, і зупинки, коли і якщо він знайде контрприклад до здогад. Тоді, знаючи BB (100), ми могли в принципі запустити цю машину за кроками BB (100), вирішити, чи вона зупиняється, і тим самим вирішити гіпотезу Гольдбаха.

Ааронсон, Скотт. "Хто може назвати більшу кількість?" Хто може назвати більшу кількість? Np, Web. 25 листопада 2016 року.

Мені здається, що автор припускає, що ми можемо довести або спростувати Конституцію Гольдбаха, твердження про нескінченно багато чисел, у кінцевій кількості обчислень. Невже я сумую?

Заява говорить про нескінченно багато цифр, але її демонстрація (або спростування) мала б бути обмеженою вправою. Якщо можливо.

Несподіванка може виникнути з (помилкового) припущення, що пошук ВВ (100) буде "теоретично простішою" проблемою, неможливим лише з практичних причин - оскільки машин так багато, і вони можуть працювати так довго, перш ніж зупинятися , якщо взагалі - зрештою, це просто машини ...

Правда полягає в тому, що виявлення BB (n) для n достатньо великих розмірів повинно бути непереборним завданням як з теоретичних, так і з практичних причин.

Ідея автора полягала в тому, що ви можете написати програму в 100 рядках (будь-яке фіксоване кінцеве число тут), яке робить наступне: приймає число x, тестує гіпотезу. Якщо це неправда, то зупиніться на іншому, продовжуйте наступний номер.

Знаючи номер зайнятого бобра, ви можете змоделювати цю машину на цю кількість кроків, а потім вирішити, зупиняється вона чи ні. Зверху, якщо він зупиняється - здогадка не відповідає дійсності, якщо вона не зупиняється - здогадка справжня.

Нещодавно Ааронсон детально розширив цю ідею розмірковування / ідеї, працюючи з Єдідією. [1] вони знаходять чіткий автомат 4888 для гіпотези Гольдбакса. ви можете прочитати статтю, щоб побачити, як вона була побудована. ТМ рідко будуються, але ті, які, як правило, нагадують компілятор на основі мов високого рівня, і компілятори додають багато держав. "вбудований" ТМ міг би легко використовувати на порядок менше кількість станів, наприклад, у 100-х або менше 100. Іншими словами, у цій роботі насправді не було спроби спробувати дійсно мінімізувати кількість станів . загальна думка звучить, і комп'ютерні вчені, як правило, не так переживають за точні константи, що застосовуються.

ця загальна теорія викладена Кальюдами (також цитованими [1]) у двох чудових працях, які викладають деякі теоретики довготривалої фольклори в цій галузі, і які були відзначені іншими авторами (наприклад, Мішель). [2] [ 3] в основному будь-яка відкрита математична задача може бути перетворена на невирішені задачі. це тому, що більшість математичних проблем пов'язані з пошуком нескінченної кількості випадків для контрприкладів і контрприкладів, алгоритмічно перевіряються (але, можливо, неефективно або вимагають великих ТМ тощо).

також "дуже маленькі" ТМ (рахуються у # штатах) можуть перевіряти / бути еквівалентом дуже складних математичних задач. наприклад, приблизна оцінка для ТМ для вирішення гіпотези коллаца складе кілька десятків станів.

тому існує цікавий зв'язок / аналогія між невизначеністю та повнотою NP. NP - клас ефективних проблем, які можна перевірити, тобто випадки можна перевірити за P час. Невирішені проблеми - це клас усіх проблем, що дозволяють алгоритмічно перевіряти зустрічні приклади без обмеження ефективності.

ось основний спосіб зрозуміти зв’язок із проблемою зайнятого бобра. всі невирішені проблеми є рівнозначними завдяки обчислюваності / еквівалентності Тьюрінга. подібно до того, що всі повні задачі NP можуть бути перетворені одна в одну за P час (зменшення), всі невирішені проблеми є рівнозначними завдяки повноті Тьюрінга та обчислювальним скороченням (що може зайняти довільний час). отже, проблема зайнятого бобра в цьому сенсі еквівалентна проблемі зупинки, і якщо можна було вирішити зайнятого бобра, то можна було б вирішити всі відкриті математичні питання.

[1] Порівняно невелика ТМ, поведінка якої не залежить від теорії множин / Єдідія, Аронсон

[2] Оцінка складності математичних задач: Частина 1 / Calude

[3] Оцінка складності математичних задач: Частина 2 / Calude

1. Гіпотезу Гольдбаха можна фальсифікувати (якщо вона фактично помилкова) такою програмою TM; таким чином не можна довести правильність (однак, проникливий математик може це зробити).

2. Знання BB (27) дозволило б зупинити пошук Гольдбаха в якийсь момент; тим не менше, BB (27) (або Омега Хайтіна (27)) раніше вимагатиме знати, зупиняється чи Goldbach TM зрештою, чи ні.

Тому вводити в оману твердження, що "ВВ (27) включає відповідь Гольдбаху". Хоча це так і є, то більше: «Гольдбах (і багато інших) є необхідною умовою для числа BB (27)», іншими словами, немає такого поняття, як «BB-функція», яку ви оскаржуєте в 27. Ми просто запустіть усі 27-державні машини, вкл. Гольдбах, і лише після факту див. ВВ (27). А з практичного POV навіть BB (6) здається невловимим.

Я думаю, що це менш таємниче, якщо ми повторимо точку Ааронсона щодо доказів:

Ми можемо назвати константу таким чином, що якби не було протиріччя Голдбаху, воно було б не більше ніж символамиТаким чином, якби ми знали , ми могли б довести або спростувати гіпотезу, перерахувавши всі рядки довжини максимум на і перевіривши, чи будь-яка з них є дійсним доказом.C C $C$$C$$C$$C$

Дещо магічно, що можна було назвати не знаючи, чи справді Гольдбаха правда чи ні (хоча на практиці занадто великий). Мені здається, що це найпростіший спосіб бачити це через машини Тьюрінга. ТМ, що перераховує і перевіряє всі можливі контрприклади до Goldbach's, має кінцеву довжину опису , тому, якщо вона зупиняється, вона робить це менше, ніж кроків. Стенограма цього обчислення буде справедливою відмовою і міститиме лише символів.C n B B ( n ) C = O ( B B ( n ) $C$$C$$n$$BB(n)$$C = O(BB(n))$