Доведення тавтології з кок

12

В даний час я повинен вивчити Coq і не знаю, як боротися з or:

Як приклад, настільки простий, як це, я не бачу, як довести:

Theorem T0: x \/ ~x.

Я був би дуже вдячний, якби хтось міг мені допомогти.

Для довідки я використовую цю шпаргалку .

Також маю на увазі приклад доказу: Тут для подвійного заперечення:

Require Import Classical_Prop.

Parameters x: Prop.

Theorem T7: (~~x) -> x. 
intro H. 
apply NNPP. 
exact H. 
Qed.

logic coq

— Імаго
джерело

NNPPТип типу є forall p:Prop, ~ ~ p -> p., тому його обман використовувати для доведення T7. При імпорті Classical_Propви отримуєтеAxiom classic : forall P:Prop, P \/ ~ P.

— Антона Трунова

Отже, apply classic.вирішує вашу мету T0.

— Антон Трунов

14

Ви не можете довести це у "ванільному" Coq, оскільки він заснований на інтуїтивістській логіці :

З доказово-теоретичної точки зору, інтуїтивістська логіка - це обмеження класичної логіки, в якому закон виключення середнього та подвійного заперечення не є дійсними логічними правилами.

Є кілька способів вирішити подібну ситуацію.

Введіть закон виключеної середини як аксіому:
```
Axiom excluded_middle : forall P:Prop, P \/ ~ P.
```
Більше не потрібно нічого доводити після цього.
Введіть деяку аксіому, еквівалентну закону виключеної середини та доведіть їх еквівалентність. Ось лише кілька прикладів.
- Подвійна елімінація заперечень є однією з таких аксіом:
```
Axiom dne : forall P:Prop, ~~P -> P.
```
- Закон Перса - ще один приклад:
```
Axiom peirce : forall P Q:Prop, ((P -> Q) -> P) -> P.
```
- Або скористайтеся одним із законів Де Моргана :
```
Axiom de_morgan_and : forall P Q:Prop, ~(~P /\ ~Q) -> P \/ Q.
```

— Антон Трунов
джерело

Дякую вам поки що Я не знайомий з усім, що ви написали, але все ж перевірятиму. Я використовую coqIde і фактично також отримав доказ подвійного заперечення, я додав його до опису проблеми для більш чіткості згодом. Я очікував, що існує аналогічний спосіб для проблеми, наведеної вище. Можливо, я мав би включити один приклад.

— Імаго

1

@AntonTrunov вам потрібно додати кілька круглих дужок до своїх Axiom peirce: як це стверджується, це не закон Перса (і це насправді trivialдоведено).

— gallais

@gallais Дякую, що помітили це! Виправлено.

— Антон Трунов

6

Як інформували вас, ваша тавтологія не є тавтологією, якщо ви не приймаєте класичну логіку. Але оскільки ви робите тавтологію щодо визначальних значень істини, ви можете використовувати boolзамість цього Prop. Тоді ваша тавтологія дотримується:

Require Import Bool.

Lemma how_about_bool: forall (p : bool), Is_true (p || negb p).
Proof.
  now intros [|].
Qed.

— Андрій Бауер
джерело