Доказова складність доказу або відхилення P = NP

Чи проводились дослідження щодо доказової складності вирішення проблеми P = NP? Якщо ні, зважаючи на недостатній прогрес у проблемі, чи було б нерозумним припустити, що будь-який доказ, що вирішує проблему P = NP, потребуватиме суперполіномічного числа кроків?

Відомо, що будь-які докази нижньої межі суперполіноміального кола (які є дещо сильнішими твердженнями, ніж ) вимагають надполіномічних, навіть експоненціальних доказів розміру у слабких системах доказування, таких як роздільна здатність. Узагальнення цього на більш стійких системах доказування - добре відома відкрита проблема.$P\neq NP$

Дивіться розділ 5 цього опитування А. Разборова, де показані ці речі.

Складність доказу має сенс лише тоді, коли є послідовність висловлювань залежно від параметра . Наприклад, пропозиція зазначає (неофіційно), що немає біекції . Ця послідовність пропозицій є важкою для певних систем підтвердження пропозицій.$n$$\mathsf{PHP}_n$$[n+1] \to [n]$

Оператор - це єдине твердження, тому ви не можете безпосередньо застосувати складність доказування до нього. Однак наступна послідовність висловлювань має сенс для конкретних функцій : "немає схеми розміру правильно розв'язувала SAT для випадків довжини ". Це було розглянуто в літературі, наприклад, Разборов (який розглядав задачу єдиної доказової складності, тобто обмежену арифметику).$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$s(n)$$s(n)$$n$

У нас є 3 випадки:

• $P = NP$$P=NP$$O(1)$

• $P\neq NP$$O(1)$

• $O(\infty)$

Тільки тому, що ми не знайшли жодного доказу, не означає, що його не існує, а класи складності визначаються з точки зору того, що існує.

$P=NP$

Що ми знаємо, це те, що загалом проблема "Візьміть заяву в логіці предиката і визначте, чи є докази для цього" не можна вирішити. Таким чином, немає загальних процедур генерації доказів, до яких ми зможемо підключити P проти NP, які гарантовано дають результат.

Якщо P = NP, то все, що вам потрібно зробити, - це створити поліноміальний алгоритм часу для вирішення якоїсь задачі, повного NP, і довести, що це дійсно багаточлен (що може бути важким, наприклад, алгоритм Simplex, як правило, працює дуже швидко, але доводячи, що швидко бігає здається неймовірно важким).

$n^{100}$