Чи є завдання, яке можна вирішити в поліномічний час, але не перевірити в поліноміальний час?

Мій колега і я щойно потрапили до записок одного з наших професорів. У примітках зазначається, що існують завдання, які можна вирішити в поліноміальний час (знаходяться в класі PF), але які НЕ перевіряються в поліноміальний час (НЕ є в класі NPF).

Щоб детальніше розповісти про ці класи: Ми отримуємо деякий вхід X і виробляємо деякий вихід Y такий, що (X, Y) знаходяться у відношенні R, що представляє наше завдання. Якщо можливо отримати Y для X за поліноміальний час, задача належить до класу PF. Якщо можливо перевірити поліномальний сертифікат довжини Z, який доводить, що кортеж (X, Y) знаходиться у відношенні R за поліноміальним часом, завдання належить до класу NPF.

Ми не говоримо про проблеми прийняття рішень, де відповідь просто ТАК чи НІ (більш формально, якщо якась рядок належить якійсь мові). Для проблем з рішенням виявляється, що PF є належним підмножиною NPF. Однак для інших завдань це може бути інакше.

Чи знаєте ви завдання, яке можна розв’язати в поліноміальний час, але не перевірити в поліноміальний час?

complexity-theory np

— Дрозі
джерело

Можливо, я неправильно розумію, але чому наступний варіант не є алгоритмом перевірки поліноміального часу? Дано

(x, y)

$(x,y)$ , обчисліть функцію

f (x)

$f(x)$ самостійно, використовуючи алгоритм поліноміального часу, і поверніть "правильне", якщо

f (x) = y

$f(x)=y$ . Можливо, ви неправильно прочитали чи помилували професора і замість цього мали намір сказати, що існують проблеми, перевірені в поліноміальний час, але не вирішені в поліноміальний час?

— Lieuwe Vinkhuijzen

@LieuweVinkhuijzen "сказати, що існують проблеми, перевірені в поліноміальний час, але не вирішені в поліноміальний час?" [відп. потрібно]

— Т. Веррон

@ T.Verron Haha так, я теж був би дуже радий бачити докази професора для цього твердження;)

— Lieuwe Vinkhuijzen

Відповіді:

Це можливо лише в тому випадку, якщо для даного входу є багато допустимих виходів. Тобто, коли відношення $R$ не є функцією, оскільки воно порушує унікальність.

Наприклад, розгляньте цю проблему:

$n \in \mathbb{N}$ $M$ $N$ $L(M)=L(N)$ $\# N > n$ $\# N$ $N$

$M$ $n$ $n$

$n,M,N$ $N$ $n,M$ $L(M)=L(N)$ $\#N > n$ $N$

$L(M)=L(N)$ $n$ $G$ $n$ $n,G$ $n$

— чі
джерело

Очікував, що це не так. Чудова відповідь!

— Філіп Хаглунд

z

$z$

M, N

$M, N$

z

$z$

z

$z$

M

$M$

z

$z$

M, N

$M, N$

M, N

$M, N$

N

$N$

M

$M$

M

$M$

N

$N$

T

$T$

x

$x$

y

$y$

T (x)

$T(x)$

y

$y$

— Lieuwe Vinkhuijzen

R

$R$

y

$y$

$NP\subsetneq P$

Це лише опрацювання першого речення відповіді @ chi, оскільки я не вважав це очевидним.

Ідея полягає в тому, що якщо у вас є алгоритм, який знаходить відповідь на якусь проблему в поліноміальний час, то є дві можливості:

Ви раніше довели (математично), що вихід алгоритму є рішенням проблеми, і в цьому випадку самі кроки алгоритму формують доказ коректності.
У вас є інший алгоритм перевірки того, що результат дійсно є рішенням, і в цьому випадку ви повинні запустити цей алгоритм (інакше ви потрапляєте під випадок №1), що означає, що ви робите це в поліноміальний час.

Тому такої проблеми не може бути.

— Мехрдад
джерело

Я не розумію №2. Що означає, що різний алгоритм працює в поліноміальний час?

— Альберт Хендрікс

@AlbertHendriks: Якщо верифікатор не запускався в поліноміальний час, тоді оригінальний вирішальник не міг стверджувати, що знайшов правильне рішення за полиномний час, оскільки йому потрібно запустити перевіряючий елемент, щоб переконатися, що його рішення правильне.

— Мехрдад