Що таке "протиріччя" в конструктивній логіці?

Про практичні основи мов програмування говорить Роберт Харпер

Якщо пропозиція є істинною, означає мати її підтвердження, що означає пропозиція помилковою? Це означає, що ми спростовуємо це, показуючи, що це неможливо довести. Тобто, судження є помилковим, якщо ми можемо показати, що припущення, що воно є правдивим (має доказ), суперечить відомим фактам.

Але тут виникає питання - що таке протиріччя в конструктивній / інтуїтивістській логіці?

Чи означає це якось у значенні походження якось? Як би це сталося розумним чином? Чи потрібно буде ввести судження форми ?( A ⊃ ⊥  true $(\bot\text{ true})$$(A \supset \bot \text{ true})$

Як варіант, чи мається на увазі читання читача, використовуючи свій розсуд, щоб неофіційно позначити щось як суперечливе? Наприклад, інтерпретація і як суперечливі пропозиції.a ≠ $a = b$$a \neq b$

Немаловажно, чи говоримо ми про конструктивну чи класичну логіку в цій ситуації. Якщо ви знову прочитаєте свої запитання, ви побачите, що вони стосуються обох видів. Єдина відмінність , що ми повинні звернути увагу на цю виставу заперечення . Він може бути представлений декількома способами класично, але інтуїтивно, найкраще використовувати його як абревіатуру для (саме на це натякає Боб Гарпер у цитованому абзаці). Але не будемо плутати негативи та суперечності.A ⇒ $\lnot A$$A \Rightarrow \bot$

В обох випадках протиріччя - це ситуація, в якій нам вдалося довести хибність$\bot$ . Як ми могли вивести на розумний спосіб? Ну, з суперечливого набору гіпотез, це може бути розумним способом зробити це.$\bot$

Ви не маєте жодного розсуду "заявляти" протиріччя. Ви повинні довести, що заданий набір гіпотез суперечливий, виводячи . Наприклад, якщо і ми можемо використовувати той факт, що є абревіатурою для і укладаємо за modus ponens.a = b ¬ ( a = b ) ¬ ( a = b ) ( a = b ) ⇒ ⊥ $\bot$$a = b$$\lnot (a = b)$$\lnot (a = b)$$(a = b) \Rightarrow \bot$$\bot$

Протиріччя, як правило , представляються в вигляді . В інтуїтивістській логіці типово визначати як . Це ясно , що ми можемо отримати з . Зрештою, протиріччя буде гіпотетичним деривацією як підказує саме визначення . Це буде гіпотетично, бо інакше ваша логіка суперечлива.¬ A A ⇒ ⊥ ⊥ A ∧ ¬ A ⊥ $A \land \lnot A$ $\lnot A$$A \Rightarrow \bot$$\bot$$A \land \lnot A$$\bot$$\lnot$

Справа Гарпера полягає в тому, що доводити щось - мати доказ, а спростовувати щось - мати доказ того, що це означає . Однак ви можете легко опинитися в ситуації, коли зможете (мета-логічно) довести, що не можете надати ні доказ, ні спростування. У такій ситуації судження не є ні конструктивно правдивим, ні хибним.$\bot$

Спосіб зрозуміти класичну логіку та порівняти її з вищесказаним полягає в наступному (по суті, подвійне тлумачення заперечення Колмогорова): ми кажемо, що судження є помилковим, якщо воно передбачає протиріччя, тобто означає . Пропозиція є правдивою, якщо ми можемо довести, що їй не можна суперечити, тобто ми можемо показати, якщо це неправдиво, призводить до суперечності. У символах в цьому сенсі помилково, якщо , як зазвичай. є вірним у цьому сенсі, якщо , тобто$\bot$$A$$A \Rightarrow \bot$$A$$\lnot A \Rightarrow \bot$$\lnot \lnot A$є доказовим. Ви можете показати, що Закон Виключеного Середовища є конструктивним, якщо ми інтерпретуємо в цьому сенсі «істинне» та «хибне». Тобто ви можете довести, що має конструктивний характер. Більш компактна, ви можете показати . За допомогою цього поняття "справжнього" та "помилкового", ми можемо сказати, що судження є правдивим, якщо ми можемо довести, що ніякого спростування не існує. Навпаки, конструктивно пропозиція не може бути конструктивно вірною, навіть якщо ми можемо продемонструвати в системі, що ніякого спростування не може бути.$\lnot \lnot (\lnot \lnot A \lor \lnot A)$$\lnot \lnot \lnot A \Rightarrow \lnot A$