Чи є одинарна мова регулярною, якщо її показник є лінійною функцією?

13

Під час виконання поточного завдання для моїх офіційних мов та курсів автоматів я наче зациклювався на вправах, що стосуються одинарних мов (я сподіваюся, що це правильний термін), тобто мов, які будуються на одній букві. Я не хочу питати про конкретні вправи, але, скоріше, про набагато більш загальну думку, яку я придумав:

Нехай і . Моя гіпотеза: $\Sigma=\{a\}$ $L=\{a^{f(n)}\in\Sigma^*:n\in\mathbb N_0\}$

L is regular \Leftrightarrow \exists x, y \in N_{0} : f (n) = x \cdot n + y

$L\text{ is regular}\Leftrightarrow \exists x,y\in\mathbb N_0:f(n)=x\cdot n+y$

Чи бачило це питання раніше якесь наукове лікування? Це "очевидно" правда / хибність?

Для мене, очевидно, напрямок " " вірно, тому що можна просто побудувати DFA з станами, які цикли через стани після того, як прочитали стани і прийняли iff, якщо він знаходиться в номері стану . $\Leftarrow$ $x+y$ $x$ $y$ $y$

formal-languages regular-languages

— СЕЙПМ
джерело

Хороша робота з цим спостереженням - нічого, чого я б очікував від середніх студентів!

— Рафаель

Домовились. Це дуже приємне спостереження.

— Рік Декер

Це не очевидно з назви, але у нас виникало це питання раніше, до невеликої лемітики еквівалентності: Які можливі набори довжин слів у звичайній мові?

— Жил 'SO- перестань бути злим'

9

Лінійний близький, але технічний термін, який ви шукаєте, є напівлінійним: тобто кінцевим об'єднанням лінійних множин.

Половина доказів цього є наслідком теореми Париха , який говорить про те, що будь-яка контекстна мова має напівлінійну карту Париха (тобто набір векторів, що містять зустрічі кожної літери в алфавіті).

Для одинарної мови парна карта мови є самою мовою (тобто кожне слово однозначно ідентифікується за кількістю літер), тому кожна одинарна звичайна мова є напівлінійною.

Друга половина доказу показує, що ви можете побудувати звичайну мову, що містить кожен одинарний напівлінійний набір. Це вимагає трохи роботи, але це не надто складно, якщо ви використовуєте регулярні вирази:

$a^k$ $\{ k \}$
$(a^k)^*$ $\{xk \mid x \in \mathbb{N}_0 \}$
$R_1 R_2$ $S_1 + S_2$ $R_1$ $S_1$ $R_2$ $S_2$ $+$
$R_1 | R_2$ $S_1 \cup S_2$ $R_1$ $S_1$ $R_2$ $S_2$ $|$

— дміти
джерело

6

L = {a^{k} ∣ k = 3 n + 1 or k = 7 n + 4}

$L=\{a^k\mid k=3n+1\text{ or }k=7n+4\}$

L = {a^{k} ∣ k = 4 n + 2 or k = 13}

$L=\{a^k\mid k=4n+2\text{ or }k=13\}$

— Рік Декер
джерело